三个正数的算术几何平均数---教案.docx

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1、1.1.3三个正数的算术几何平均数一、教学目标1．探索并了解三个正数的算术几何平均不等式的证明过程．2．会用平均不等式求一些特定函数的最大(小)值．3．会建立函数不等式模型，利用其解决实际生活中的最值问题．二、课时安排1课时三、教学重点会用平均不等式求一些特定函数的最大(小)值．四、教学难点会建立函数不等式模型，利用其解决实际生活中的最值问题．五、教学过程（一）导入新课已知x>0，y>0，证明：(1＋x＋y2)(1＋x2＋y)≥9xy.【证明】　因为x>0，y>0，所以1＋x＋y2≥3>0,1＋x2＋y≥3>0，故(1＋x＋y2)(1＋x2＋y)≥3·3＝9xy.（二）讲授新

2、课教材整理1　三个正数的算术几何平均不等式1．如果a，b，c∈R＋，那么a3＋b3＋c33abc，当且仅当时，等号成立．2．定理3：如果a，b，c∈R＋，那么，当且仅当时，等号成立．即三个正数的算术平均它们的几何平均．教材整理2　基本不等式的推广对于n个正数a1，a2，…，an，它们的算术平均它们的几何平均，即，当且仅当a1＝a2＝…＝an时，等号成立．教材整理3　利用基本不等式求最值若a，b，c均为正数，①如果a＋b＋c是定值S，那么时，积abc有值；②如果积abc是定值P，那么当a＝b＝c时，和有最小值．（三）重难点精讲题型一、证明简单的不等式例1设a，b，c为正数，求证

3、：(a＋b＋c)2≥27.【精彩点拨】　根据不等式的结构特点，运用a＋b＋c≥3，结合不等式的性质证明．【自主解答】　∵a>0，b>0，c>0，∴a＋b＋c≥3>0，从而(a＋b＋c)2≥9>0.又＋＋≥3>0，∴(a＋b＋c)2≥3·9＝27，当且仅当a＝b＝c时，等号成立．规律总结：1．(1)在应用平均不等式时，一定要注意是否满足条件，即a>0，b>0.(2)若问题中一端出现“和式”而另一端出现“积式”，这便是应用基本不等式的“题眼”，不妨运用平均不等式试试看．2．连续多次运用平均不等式定理时，要特别注意前后等号成立的条件是否一致．[再练一题]1．设a，b，c为正数，求证

4、：(a＋b＋c)3≥81.【证明】　因为a，b，c为正数，所以有＋＋≥3＝＞0.又(a＋b＋c)3≥(3)3＝27abc＞0，∴(a＋b＋c)3≥81，当且仅当a＝b＝c时，等号成立．题型二、用平均不等式求解实际问题例2如图所示，在一张半径是2米的圆桌的正中央上空挂一盏电灯．大家知道，灯挂得太高了，桌子边缘处的亮度就小；挂得太低，桌子的边缘处仍然是不亮的．由物理学知识，桌子边缘一点处的照亮度E和电灯射到桌子边缘的光线与桌子的夹角θ的正弦成正比，而和这一点到光源的距离r的平方成反比，即E＝k.这里k是一个和灯光强度有关的常数．那么究竟应该怎样选择灯的高度h，才能使桌子边缘处最亮

5、？【精彩点拨】　根据题设条件建立r与θ的关系式，将它代入E＝k，得到以θ为自变量，E为因变量的函数关系式，再用平均不等式求函数的最值．【自主解答】　∵r＝，∴E＝k·.∴E2＝·sin2θ·cos4θ＝(2sin2θ)·cos2θ·cos2θ≤3＝，当且仅当2sin2θ＝cos2θ时取等号，即tan2θ＝，tanθ＝时，等号成立．∴h＝2tanθ＝，即h＝时，E最大．因此选择灯的高度为米时，才能使桌子边缘处最亮．规律总结：1．本题的关键是在获得了E＝k·后，对E的函数关系式进行变形求得E的最大值．2．解应用题时必须先读懂题意，建立适当的函数关系式，若把问题转化为求函数的最值问

6、题，常配凑成可以用平均不等式的形式，若符合条件“一正、二定、三相等”即可直接求解．[再练一题]2．制造容积为立方米的无盖圆柱形桶，用来制作底面的金属板的价格为每平方米30元，用来制作侧面的金属板的价格为每平方米20元，要使用料成本最低，则圆柱形桶的底面半径和高应各为多少米？【解】　设圆柱形桶的底面半径为r米，高为h米，则底面积为πr2平方米，侧面积为2πrh平方米．设用料成本为y元，则y＝30πr2＋40πrh.∵桶的容积为，∴πr2h＝，∴rh＝.∴y＝30πr2＋π＝10π≥10π×3，当且仅当3r2＝时，即r＝时等号成立，此时h＝.故要使用料成本最低，圆柱形桶的底面半径

7、应为米，高为米．当且仅当2x2＝1－x2，即x＝时等号成立．∴y≤，∴y的最大值为.题型三、利用平均不等式求最值例3已知x∈R＋，求函数y＝x(1－x2)的最大值．【精彩点拨】　为使数的“和”为定值，可以先平方，即y2＝x2(1－x2)2＝x2(1－x2)(1－x2)＝2x2(1－x2)(1－x2)×，求出最值后再开方．【自主解答】　∵y＝x(1－x2)，∴y2＝x2(1－x2)2＝2x2(1－x2)(1－x2)·.∵2x2＋(1－x2)＋(1－x2)＝2，∴y2≤＝.规律总结：1．解答本题时，有的同学