等差数列的前n项和及其性质教案.doc

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1、5、等差数列的前n项和等差数列的前n项和公式(1)等差数列的前n项和公式已知量首项、末项与项数首项、公差与项数求和公式Sn＝Sn＝na1＋d(2)等差数列的前n项和公式与二次函数的关系将等差数列前n项和公式Sn＝na1＋d整理成关于n的函数可得Sn＝n2＋n.[基础自测]1．判断正误(1)公差为零的等差数列不能应用等差数列前n项和公式求和．(　　)(2)数列{n2}可以用等差数列的前n项和公式求其前n项和．(　　)(3)若数列{an}的前n项和为Sn＝n2＋2n＋1，则数列{an}一定不是等差数列．(　　)[解析]　(1)不正确，不管公差是不是

2、零，都可应用公式求和；(2)不正确，因为数列{n2}不是等差数列，故不能用等差数列的前n项和公式求和；(3)正确．[答案]　(1)×　(2)×　(3)√2．已知等差数列{an}的首项a1＝1，公差d＝－2，则前n项和S10＝(　　)A．－20　　　B．－40　　　C．－60　　　D．－80D　[由等差数列前n项和公式，S10＝10×1＋×10×9×(－2)＝－80.]3．已知等差数列{an}中，a1＝2，a17＝8，则S17＝________.[解析]　S17＝×17×(2＋8)＝85.[答案]　854．已知等差数列{an}中，a1＝1，S8＝

3、64，则d＝________.[解析]　S8＝8×1＋×8×7×d＝64，解得d＝2.[答案]　25．(2017·全国卷Ⅲ)等差数列{an}的首项为1，公差不为0.若a2，a3，a6成等比数列，则{an}前6项的和为(　　)A．－24B．－3C．3D．8解析：选A　设等差数列{an}的公差为d，因为a2，a3，a6成等比数列，所以a2a6＝a，即(a1＋d)(a1＋5d)＝(a1＋2d)2.又a1＝1，所以d2＋2d＝0.又d≠0，则d＝－2，所以{an}前6项的和S6＝6×1＋×(－2)＝－24.6．在等差数列{an}中，an>0，a7＝a4

4、＋4，Sn为数列{an}的前n项和，则S19＝________.解析：设等差数列{an}的公差为d，由a7＝a4＋4，得a1＋6d＝(a1＋3d)＋4，即a1＋9d＝8，所以a10＝8，因此S19＝＝19×a10＝19×8＝152.答案：1527．(2018·兰州诊断考试)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝2，a8＋a10＝28，则S9＝(　　)A．36　　　　　　　　　　B．72C．144D．288解析：选B　法一：∵a8＋a10＝2a1＋16d＝28，a1＝2，∴d＝，∴S9＝9×2＋×＝72.法二：∵a8＋a10＝2a9＝28

5、，∴a9＝14，∴S9＝＝72.8．(2018·安徽两校阶段性测试)若等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足a2＋S3＝4，a3＋S5＝12，则a4＋S7的值是(　　)A．20B．36C．24D．72解析：选C　由a2＋S3＝4及a3＋S5＝12，得解得∴a4＋S7＝8a1＋24d＝24.9．(2016·北京高考)已知{an}为等差数列，Sn为其前n项和．若a1＝6，a3＋a5＝0，则S6＝________.解析：∵a3＋a5＝2a4，∴a4＝0.∵a1＝6，a4＝a1＋3d，∴d＝－2.∴S6＝6a1＋d＝6×6－30＝6.答案：6题型一　

6、与Sn有关的基本量的运算例1　已知等差数列{an}中，(1)a1＝，d＝－，Sn＝－15，求n和a12；(2)a1＝1，an＝－512，Sn＝－1022，求公差d；(3)a1＝6，a3＋a5＝0，求S6.[解]　(1)因为Sn＝n·＋·＝－15，整理得n2－7n－60＝0.解得n＝12或n＝－5(舍去)．所以a12＝＋(12－1)×＝－4.(2)由Sn＝＝＝－1022，解得n＝4.又由an＝a1＋(n－1)d，即－512＝1＋(4－1)d，解得d＝－171.(3)由a3＋a5＝2a4＝0，得a4＝0，a4－a1＝3d＝－6，d＝－2.故S6＝6

7、a1＋15d＝6×6＋15×(－2)＝6.[规律方法]　等差数列中基本量计算的两个技巧：(1)利用基本量求值.等差数列的通项公式和前n项和公式中有五个量a1，d，n，an和Sn，一般是利用公式列出基本量a1和d的方程组，解出a1和d，便可解决问题.解题时注意整体代换的思想.(2)利用等差数列的性质解题.等差数列的常用性质：若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N＋)，则am＋an＝ap＋aq，常与求和公式Sn＝结合使用.[跟踪训练]1．等差数列中：(1)a1＝105，an＝994，d＝7，求Sn；(2)an＝8n＋2，d＝5，求S20；(3)d＝，

8、n＝37，Sn＝629，求a1及an.[解]　(1)由an＝a1＋(n－1)d且a1＝105，d＝7，得994＝105＋(n－1)×7，解得n＝128