中南大学线性代数3.3线性方程组的解课件.ppt

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1、第三节线性方程组的解第三章二、基础解系及其求法四、小结一、齐次线性方程组的性质三、非齐次线性方程组的性质１．解向量的概念设有齐次线性方程组（1）一、齐次线性方程组解的性质则上述方程组（1）可写成矩阵方程若为方程的解，则称为方程组(1)的解向量.若记２．齐次线性方程组解的性质（1）若为的解，则也是的解.证明（2）若为的解，为实数，则也是的解．证明由以上两个性质可知，方程组的全体解向量所组成的集合，对于加法和数乘运算是封闭的，因此构成一个向量空间，称此向量空间为齐次线性方程组的解空间．１．基础解系的定义二、基础解系及其求

2、法２．线性方程组基础解系的求法于是可化为设齐次线性方程组的系数矩阵为，并不妨设的前个列向量线性无关．现对取下列组数：依次得从而求得原方程组的个解：下面证明是齐次线性方程组解空间的一个基．由于个维向量线性无关，所以个维向量亦线性无关.由于是的解故也是的解.所以是齐次线性方程组解空间的一个基.说明１．解空间的基不是唯一的．２．解空间的基又称为方程组的基础解系．３．若是的基础解系，则其通解为定理例1求齐次线性方程组的基础解系和通解解对系数矩阵施行初等行变换即方程组有无穷多解，其基础解系中有三个线性无关的解向量.所以原方程组

3、的一个基础解系为故原方程组的通解为例2证证明１．非齐次线性方程组解的性质三、非齐次线性方程组解的性质证明其中为对应齐次线性方程组的通解，为非齐次线性方程组的任意一个特解.２．非齐次线性方程组的通解非齐次线性方程组Ax=b的通解为３．与方程组有解等价的命题:线性方程组有解４．线性方程组的解法（1）应用克拉默法则（2）利用初等变换特点：只适用于方程组中方程的个数与未知量的个数相同且系数行列式不等于零的情形，计算量大，容易出错，但有重要的理论价值，可用来证明很多命题．特点：适用于方程组有唯一解、无解以及有无穷多解的各种情形

4、，全部运算在一个矩阵（数表）中进行，计算简单，易于编程实现，是有效的计算方法．解例3求下述方程组的解令先求对应的齐次线性方程组的基础解系：且原方程组等价于方程组故得对应的齐次线性方程组的基础解系依次得故所求通解为再求非齐次线性方程组的一个特解：１．齐次线性方程组基础解系的求法四、小结()()nBRAR==()()nBRAR<=２．线性方程组解的情况思考题思考题解答练习：求解方程组解