【考研数学】线性代数PPT课件-向量与线性方程组解的结构.ppt

《【考研数学】线性代数PPT课件-向量与线性方程组解的结构.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、向量线性方程组解的结构维向量的概念定义由个有次序的数构成的有序数组称为一个维向量，简记为即．其中称为向量的分量，称为向量的维数．也可以写成一列例已知，计算：解：维向量写成一行，称为行向量，也就是行矩阵，通常用　　　　　　等表示，如：维向量写成一列，称为列向量，也就是列矩阵，通常用　　　　等表示，如：若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成的集合叫做向量组．例如向量组,,…，　称为矩阵A的行向量组．反之，由有限个向量所组成的向量组可以构成一个矩阵.线性方程组的向量表示方程组与增广矩阵的列向量组之间一一对应．定义１线性组合向量能由向量组线性表示．定理1向量组能由

2、向量组线性表示向量组等价．定义２从而注意:定义３则称向量组是线性相关的，否则称它线性无关．线性相关性的概念线性相关性的判定解例１或r(I)=n，得线性无关。解例２分析解：因为证法1证法2性质1：向量组的线性相关性质说明：性质2：说明：性质3：定理3向量组（当时）线性相关的充分必要条件是中至少有一个向量可由其余个向量线性表示．线性表示、线性相关、线性无关三者的关系而不是“每一个”定理4：（定理）。１.向量、向量组与矩阵之间的联系，线性方程组的向量表示；线性组合与线性表示的概念；２.线性相关与线性无关的概念；线性相关性在线性方程组中的应用；（重点）３.线性相关与线性无

3、关的判定方法：定义，两个定理．（难点）小结定义１最大线性无关向量组最大无关组秩极(最)大线性无关向量组定理１结论说明事实上定理２推论1推论2１．解向量的概念为齐次线性方程组的解称为方程组的解向量。齐次线性方程组解的结构２．齐次线性方程组解的性质（1）若为的解，则也是的解.证明（2）若为的解，为实数，则也是的解．证明由以上两个性质可知，方程组的全体解向量所组成的集合，对于加法和数乘运算是封闭的，因此构成一个向量空间，称此向量空间为齐次线性方程组的解空间．一般记作注：齐次解的线性组合仍为齐次解１．基础解系的定义基础解系及其求法２．线性方程组基础解系的求法设齐次线性方程

4、组的系数矩阵为，并不妨设的前个列向量线性无关．于是可化为现对取下列组数：依次得从而求得原方程组的个解：说明１．解空间的基不是唯一的．２．解空间的基又称为方程组的基础解系．３．若是的基础解系，则其通解为例1求齐次线性方程组的基础解系与通解.解对系数矩阵作初等行变换，变为行最简矩阵，有证明１．非齐次线性方程组解的性质非齐次线性方程组解的结构证明证毕．其中为对应齐次线性方程组的通解，为非齐次线性方程组的任意一个特解.２．非齐次线性方程组的通解非齐次线性方程组Ax=b的通解为３．与方程组有解等价的命题线性方程组有解４．线性方程组的解法（1）应用克莱姆法则（2）利用初等变换

5、特点：只适用于系数行列式不等于零的情形，计算量大，容易出错，但有重要的理论价值，可用来证明很多命题．特点：适用于方程组有唯一解、无解以及有无穷多解的各种情形，全部运算在一个矩阵（数表）中进行，计算简单，易于编程实现，是有效的计算方法．例4求解方程组解非齐次方程的通解=齐次方程的通解+非齐次方程的特解