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1、§3.5拉格朗日中值定理与洛必达法则一、案例引入二、讨论分析1、拉格朗日中值定理2、洛必达法则在两个高度相同的点间的一段连续曲线上，除端点外如果各点都有不垂直于x轴的切线，那么至少有一点处的切线水平的.xyabPOAB案例引入1、定理3-6（拉格朗日（Lagrange）中值定理）如果函数f(x)满足下列条件：（1）在闭区间[a,b]上连续;（2）在开区间(a,b)内可导，那么在(a,b)内至少存在一点ξ，使得:一、拉格朗日（Lagrange）中值定理或讨论分析OxyABbaC由定理的条件可知,连接端点A和B作弦AB,则
2、2、拉格朗日中值定理的几何直观曲线在上是一条连续的曲线弧曲线弧内部每一点处都有不垂直于x轴的切线.ξ讨论分析足拉格朗日中值定理的条件．解所以函数在[0,2]上满上连续，在开区间(0,2)内可导，函数在上满足拉格朗日定理么？例1如果满足，求出使定理成立的的值。故在闭区间[0,2]是初等函数，又令解得即讨论分析例2证明：对任意不等式解设显然它在上满足即成立．拉格朗日中值定理的条件，所以有显然有3、拉格朗日中值定理应用（1）证明不等式；（2）证明等式即讨论分析例3.证明不等式证:设朗日中值定理条件,即因为故因此应有显然f(t)
3、在[0,x]上满足拉格即讨论分析证设为区间I上任意两点（不妨设)在上满足拉格朗日中值定理的条件，则即由于故f(x)在区间I上为一常数．即函数f(x)在区间I上任意两点的函数值相等，则推论1若函数上满足在区间f(x)在区间I上必为一常数．所以显然，讨论分析证:设由推论可知(C为常数)令x=0,得又故所证等式在定义域上成立.小结:欲证时只需证在I上例4.证明等式在(-1,1)上有：讨论分析则(C常数)．推论2若两个函数与的导数在区间I内相等，即练习:讨论分析若函数满足:(1)在区间[a,b]上连续(2)在区间(a,b)内可导
4、(3)f(a)=f(b)使在(a,b)内至少存在一点4、补充：罗尔（Rolle）定理应用说明：（1）证明方程f(x)=0根的唯一性。（2）证明方程有根。讨论分析例5.证明方程有且仅有一个小于1的正实根.证:1)根的存在性.则在[0,1]连续,且由零点定理知存在使设即即方程有小于1的正根讨论分析2)根的唯一性.假设另有满足罗尔定理条件,至少存在一点但矛盾,故假设不真!讨论分析例6若方程有正根证明：方程在内必定有根。证明：令则在上连续，在存在，且所以在满足罗尔定理的条件。根据罗尔定理可知，在上至少存在一点使即是方程的根。讨论
5、分析二、洛必达法则当（或）时，如果两个函数那么极限都是无穷小或都是无穷大，可能存在、也可能不存在．通常称这种极限为未定式的极限，并分别简记为或讨论分析又满足条件：（1）则的左右近旁可导，且定理3-7设在点（2）存在（或为无穷大）．1、型未定式讨论分析这种通过分子与分母分别求导来确定未定式的结论仍然成立．极限值的方法称作洛必达法则．说明：如果把极限过程换成：讨论分析解这是型未定式．例7求由洛必达法则，得讨论分析解这是型未定式，例8求．由洛必达法则，得注意：如果应用洛必达法则后所得到的极限仍然是未定式，且满足洛必达法则的条件
6、，则可继续使用洛必达法则，直至求出极限为止．讨论分析极限是否为未定式．特别注意的是，在每次使用洛必达法则前,都要验证讨论分析例9求解这是型未定式，由洛必达法则，得讨论分析练习：求讨论分析的左右近旁可导，且定理3-8设在点又满足条件：存在（或为无穷大），则2、型未定式；讨论分析例10求型未定式，解这是由洛必达法则，得讨论分析例11求解这是型未定式，由洛必达法则，得讨论分析练习：求极限讨论分析3、未定式的其它类型：变形，转化为所有这些类型的未定式都可通过适当或求解．（2）和差形式的未定式，简记为（3）幂指形式的未定式，简记为
7、（1）乘积形式的未定式，简记为讨论分析例12求解这是型未定式，将其变形为这是型未定式，由洛必达法则，得讨论分析例13求解这是型未定式，通分后可化为型未定式，利用洛必达法则，得这是原式讨论分析例14求解这是型未定式，将其改写成，是型未定式，所以由洛必达法则，得讨论分析注：洛必达法则对求未定式的极限并非始终有效，而不存在(也不是无穷大)，所以右端的有些未定式利用洛必达法则求不出极限．是型的未定式，如极限不存在．讨论分析该极限是否就真的不存在呢？事实上：讨论分析费马(1601–1665)法国数学家,他是一位律师,数学只是他的业
8、余爱好.他兴趣广泛,博览群书并善于思考,在数学上有许多重大贡献.他特别爱好数论,他提出的费马大定理:至今尚未得到普遍的证明.他还是微积分学的先驱,费马引理是后人从他研究最大值与最小值的方法中提炼出来的.讨论分析罗尔是法国数学家，1652年4月21日生于昂贝尔特，1719年11月8日卒于巴黎。罗尔在数学上的成就主要是在
