3.5拉格朗日中值定理与洛必达法则

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1、子项目3.1拉格朗日中值定理与洛必达法则能力目标：了解拉格朗日中值定理及几何意义;掌握用洛必达法则求和未定式的极限.任务引入：求的值.任务分析：对于这个极限,当时,分子和分母同时都趋向于零,用我们原来几种求极限的方法都不能解决,学了本项目以后我们将很轻松的求出这类极限的值.相关知识：1.了解拉格朗日中值定理及其几何意义.2.掌握用洛必达法则求型和型未定式极限的方法.一、拉格朗日(Lagrange)中值定理Th3.1（拉格朗日中值定理）：设函数f(x)满足下列条件：(1)在闭区间上连续；(2)在开区间内可导，则在内至少存在一点,(与有关)，使得．(3-1)定理

2、证明从略.定理的几何意义：因为等式(5-1)的右面表示连接端点的线段所在直线的斜率，定理表示，如果在上连续，且除端点外在每一点都存在切线，那么至少有一点处xxyabPOAB的切线与平行．例1：验证在区间上拉格朗日中值定理成立，并求x．解：　显然在上连续且在上可导，所以拉格朗日中值定理成立．,令，即，得．所以，．例2：证明当时，不等式成立。证：设，，则在区间上连续，在内可导，由拉格朗日定理，得于是，有.例3：证明不等式对任意成立．证：改写欲求证的不等式为如下形式：　　　　　　　，　　　　　　　　　(1)因为在上连续，在内可导，所以据拉格朗日中值定理有,，因为，

3、，所以(1)成立．原不等式得证．注：拉格朗日中值定理可以改写成另外的形式．如　或,；　　　　,(在之间)；　　(3-2)或,；(3-3)一般称(5-3)形式为拉格朗日中值定理的增量形式，其中的中间值与区间端点有关．推论1　如果，则(,C为常数)，即在内为一个常数函数．证：在内任取两点(不妨设)．因为，所以在上连续，在内可导．于是由拉格朗日中值定理有又因对内一切都有．在之间，当然在内，所以，于是得，，即．既然对于内任意两点都有，那就说明在内是一个常数．以前我们证明过“常数的导数等于零”，推论1说明它的逆命题也是对的．推论2　如果，则,(,C为常数)．证：　因为

4、，据推论1，得,(,C为常数)，移项即得结论．二、洛必达法则若当时，两个函数都是无穷小或无穷大，则求极限时不能直接用商的极限运算法则，其结果可能存在，也可能不存在；即使存在，其值也因式而异．因此常把两个无穷小之比或无穷大之比的极限，称为型或型未定式（也称为型或型未定型）极限．1.型未定式Th2（罗必塔(L’Hospital)法则Ⅰ）：设函数和满足：(1)，；(2)函数在的某个邻域内（点可除外）可导，且；(3),(可以是有限数，也可为)，则．注：法则对于时的型未定式同样适用．例4：求下列型未定式的极限（1）；（2）；（3）.解：（1）这是型未定式，由罗必塔法则

5、，得．（2）这是型未定式，由罗必塔法则，得．（3）极限是型未定式，使用罗必塔法则得；最后的极限仍然是极限是型未定式，继续使用罗必塔法则得．2.型未定式Th3（罗必塔(L’Hospital)法则II）：设函数和满足：(1)，；(2)函数在的某个邻域内（点可除外）可导，且；(3),(可以是有限数，也可为)，则．注：与法则Ⅰ相同，定理对于时的型未定式同样适用，并且对使用后的得到的或型未定式，只要导数存在，可以连续使用．例5：用洛必达法则求下列极限（1）；（2）(为自然数)；（3）(为自然数)．解：（1）(型未定式　)(型未定式)．（2）．（3）．例6：求解：（本例

6、虽属于型，但是不存在，因此洛必达法则无效，应考虑其他方法进行计算。）在使用罗必塔法则时，应注意如下几点：(1)每次使用罗必塔法则时，必须检验极限是否属于型或型未定式，如果不是这种未定式就不能使用该法则；(2)如果有可约因子，或有非零极限的乘积因子，则可先约去或提出，然后再利用罗必塔法则，以简化演算步骤；(3)当不存在时，并不能断定不存在，此时应使用其他方法求极限．例7：证明存在，但不能用罗必塔法则求其极限．证：，所给的极限存在为0．又因为这是型未定式，可利用罗必塔法则，得，最后的极限不存在，所以所给的极限不能用罗必塔法则求出．3.其他类型的未定式对函数在求的

7、极限时，除型与型未定式之外，还有下列一些其他类型的未定式：(1)型：的极限为0、的极限为或相反，求的极限；(2)型：的极限为，求的极限；(3)型：的极限为1、的极限为，求的极限；(4)型：的极限为0，求的极限；(5)型：的极限为、的极限为0，求的极限．这些类型的极限，也不能机械地使用极限的运算法则来求，其极限的存在与否因式而异．这些类型的未定式，可按下述方法处理：对（1）（2）两种类型，可利用适当变换将它们化为型或型未定式，再用罗必塔法则求极限；对（3）（4）（5）三种类型未定式，则直接用化为型．例8：求下列极限（1）；（2）；（3）．解：（1）这是型未定式

8、，可将其化为型未定式．．（2）这是型未定式，通过“通