数学模型与数学建模5.1-线性规划课件.ppt

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1、数学模型安徽大学数学科学学院第5章数学规划模型5.1线性规划5.2非线性规划5.3整数规划5.4多目标规划5.1线性规划5.1.1线性规划问题的数学模型及其标准形式例5.1.1某工厂在计划期内要安排生产A、B两种产品，已知生产单位产品所需设备台时及对甲、乙两种原材料的消耗，有关数据如表5.1.1。问：应如何安排生产计划，使工厂获利最大？表5.1.1资源配置问题的数据解设为生产A、B两种产品的数量，则由表5.1.1知利润函数为。同时所需设备台时和对甲、乙两种原料的消耗分别不超过8台时、16公斤和12公斤，因此建立

2、线性规划问题的数学模型为：（5.1.1）例5.1.2某公司饲养实验用的动物以供出售，已知这些动物的生长对饲料中3种营养成分（蛋白质、矿物质和维生素）特别敏感，每个动物每周至少需要蛋白质60g，矿物质3g，维生素8mg，该公司能买到5种不同的饲料，每种饲料1kg所含各种营养成分和成本如表5.1.2所示，求既能满足动物生长需要，又使总成本最低的饲料配方。表5.1.2饲料营养成分表解设分别表示每周每个动物需要饲料、、、、的数量，则成本函数为。根据营养的需求，要求蛋白质、矿物质和维生素分别不低于60g、3g和8mg，因

3、此，可建立如下的数学模型：（5.1.2）通过以上两个举例可以看出，上述问题的数学模型主要包括以下三个基本要素：（1）决策变量：问题中有待确定的未知变量；（2）约束条件：问题的一些资源等限制条件，且用决策变量的一线性等式或线性不等式来表达；（3）目标函数：问题的目标，按问题的要求，求其最大值或最小值，并用决策变量的线性函数来表达；若建立的数学模型的目标函数是决策变量的线性函数、约束条件是决策变量的线性等式或线性不等式，则称此数学模型为线性规划（LinearProgramming，简记为LP）模型。一般地，线性规划

4、问题的数学模型具有形式：（5.1.3）从（5.1.3）式可以看出，线性规划问题的目标函数有的是求最大值，有的是求最小值；约束条件有的是等式约束，有的是不等式约束，因此有必要给出线性规划问题的标准形式。线性规划问题的标准形满足：（1）求目标函数的最大值；（2）所有约束条件都是等式约束，且约束条件右端的常数项满足非负性；（3）所有变量均为非负限制。则LP问题的标准形可表示为：（5.1.4）如果所给的线性规划问题不符合标准形的要求，可从以下几个方面将其适当变换化成标准形：（1）目标函数最小值化为求最大值：若求，令，则

5、有。（2）不等式约束化为等式约束：若约束条件为，引进非负松弛变量，则有：若约束条件为，增加非负剩余变量，则有：（3）决策变量无非负限制化为非负限制：若变量无非负限制，引进，则有：且。（4）若某个约束条件右端的常数项小于零，则用（）乘以该式两端即可。若令则可将线性规划问题（5.1.4）表示成矩阵形式：（5.1.5）我们称满足约束条件{且}的为线性规划问题的可行解；使目标函数取到最大值的可行解称为线性规划问题的最优解。5.1.2线性规划问题的LINGO软件和MATLAB软件求解例5.1.3用LINGO求解例5.1.

6、1。解例5.1.1建立的线性规划数学模型见（5.1.1）。在LINGO的MODEL窗口内输入如下模型：model:max=2*x1+3*x2;x1+2*x2<=8;4*x1<=16;4*x2<=12;end求解结果如下：运行5步找到全局最优解，目标函数值为14，变量值分别为。“ReducedCost”的含义是需缩减成本系数或需增加利润系数（最优解中取值非零的决策变量的ReducedCost值等于零）。“Row”是输入模型中的行号，目标函数是第一行；“SlackorSurplus”的意思是松弛或剩余，即约束条件左

7、边与右边的差值，对于“”的不等式，右边减左边的差值为Slack（松弛），对于“”的不等式，左边减的右边差值为Surplus（剩余），当约束条件两边相等时，松弛或剩余的值等于零。“DualPrice”的意思是对偶价格，上述报告中Row2的松弛值为0，表明生产甲产品4单位、乙产品2单位，所需设备8台时已经饱和，对偶价格5.1的含义是：如果设备增加1台时，能使目标函数值增加5.1。报告中Row4的松弛值为4，表明生产甲产品4单位、乙产品2单位，所需原材料乙8公斤还剩余4公斤，因此增加原材料乙不会使目标函数值增加，所以

8、对偶价格为0。例5.1.4用LINGO求解例5.1.2配料问题。解例5.1.2配料问题的数学模型为（5.1.2），在LINGO的MODEL窗口内输入如下模型：Min=0.2*x1+0.7*x2+0.4*x3+0.3*x4+0.5*x5;0.3*x1+2*x2+x3+0.6*x4+1.8*x5>60;0.1*x1+0.05*x2+0.02*x3+0.2*x4+0.05*x5>3;0.05