数学分析第十八章隐函数定理及其应用

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1、第18章隐函数定理及其应用§1隐函数一、隐函数概念下面看隐函数的例子.二、隐函数存在性条件的分析三、隐函数定理A−−−−−−−BA’+++++++B’P0A−−−−−−−BA’+++++++B’P0例1.验证方程在点(0,0)某邻域可确定一个单值可导隐函数解:令则并求连续,由定理可知,导的隐函数在x=0的某邻域内方程存在单值可且两边对x求导两边再对x求导令x=0,注意此时导数的另一求法—利用隐函数求导例2.设解法1利用隐函数求导再对x求导解法2利用公式设则两边对x求偏导作业：P151,1,2,3(2)(5),5.四、隐函数问题举例(自练)§

2、2隐函数组一、隐函数组概念二、隐函数组定理例2.设解:方程组两边对x求导，并移项得求练习:求答案:由题设故有三、反函数组与坐标变换作业：P157,1,2(2),3(1),6.§3几何应用因本节讨论的曲线和曲面的方程以隐函数(组)给出，故在求它们的切线(或切平面)时都要用到隐函数(组)的微分法。一、平面曲线的切线与法线例:求x2+y2=4在(2,2)处的切线.二、空间曲线的切线与法平面所求切线方程为法平面方程为三、曲面方程的切平面与法线解令切平面方程法线方程小结：平面曲线的切线和法线；空间曲线的切线和法平面；曲面的切平面和法线。推导(含义),

3、公式、运用。作业：P163,2(2),3(1),5,7.§4条件极值一、条件极值的概念以前所讨论的极值问题，其极值点的搜索范围是目标函数的定义域。但是，另外还有很多极值问题，其极值点的搜索范围还受到各自不同条件的限制。这种附有约束条件的极值问题称为条件极值问题，不带约束条件的极值问题称为无条件极值问题。二、拉格朗日乘数法过去把条件极值问题化为无条件极值问题.例如上述水箱设计问题.这样就把条件极值问题(4)、(5)转化为函数(10)的无条件极值问题，这种方法称为拉格朗日乘数法。(10)中的函数L称为拉格朗日函数，辅助变量λ称为拉格朗日乘数。三

4、、例题解则练习2解得小结：条件极值的概念；拉格朗日乘数法的推导和理论；拉格朗日乘数法的应用(解决条件极值问题):极值、最值、不等式,典型例题。作业：P169,1(3),2(1),3(1),4(提示:仿例3).“第18章隐函数定理及其应用”的习题课一、内容要求1、了解隐函数的概念，理解隐函数存在唯一性定理、可微性定理，掌握隐函数的求导法2、了解隐函数组的概念，理解隐函数组定理、掌握求导法，了解反函数定理与坐标变换3、会求平面曲线的切线与法线，空间曲线的切线与与法平面，曲面的切平面与法线4、会用拉格朗日乘数法解决条件极值问题(极值、最值、不等式

5、)二、作业问题P151，1，2；P158，6三、练习参考：P157，例4.11设三个正数的和恒为常数，问它们取何值时其乘积最大？