成贤教材-高数B下§7.1 空间直角坐标系及向量运算的坐标表示

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1、第7章向量代数与空间解析几何§7.1空间直角坐标系及向量运算的坐标表示7．1．1空间直角坐标系（一）空间直角坐标系1.空间直角坐标系的建立（1）点—坐标原点；（2）三条互相垂直的数轴、、—坐标轴；（3）面、面、面—坐标平面。2．空间点的坐标（1）。（2）：—；—；—。3．特殊点的坐标（1）原点O（0，0，0）；（2）坐标轴上的点；（3）坐标平面上的点。4．卦限（1）卦限的概念（2）各卦限中点的坐标的符号卦限坐标一二三四五六七八+--++--+++--++--++++----165．与点分别关于各坐标

2、平面、各坐标轴及原点对称的点的坐标。解：（1）；（4）；（7）。6．空间两点间的距离（1）设，为空间两点，则。（2）点到原点的距离。例1．求点到原点及各坐标轴的距离。解：，，的垂线，垂足分别为，则它们的坐标分别为，，。则所求距离分别为，，，。7．坐标轴的平移设有两个坐标系，且这两个坐标系的各轴对应平行且指向相同。设点的旧坐标为，新坐标为，新坐标系的原点在旧坐标系中的坐标为，则或。§7.2向量及其坐标表示7.2.1向量的概念向量：既有方向又有大小的量称为向量。如力、位移、速度、加速度等。AB常用有向线

3、段来表示向量。以A为起点，B为终点的有向线段所表示的向量，记作或。向量的模：向量的大小，。16单位向量：模等于1的向量。与非零单位向量称为，。零向量：模等于零的向量。，其方向不定。负向量：模为相反的向量，。若方向相同或相反，平行或共线，∥。显然零向量都平行。不论起点是否一致，若方向相同，模相等，则称相等，记作。即经平行移动后，两向量完全重合。允许平行移动的向量称为自由向量，本书讨论的向量均为自由向量。7.2.2向量的线性运算1）向量的加法与减法++以两个的平行四边形的对角线所表示的向量，称为两向量的

4、和向量，。-若以向量起点，则由的向的和向量。此法则可以推广到任意有限个向量相加的情形。减法是加法的逆运算，若，则称的差，或，分别记为或。将的起点重合，由。++16向量加法满足下列运算率（1）（交换律）；（2）（结合律）；（3）；（4）；（5）。2）向量与数的乘法（数乘），，的乘积（简称数乘）仍是一个向量，记作，且（1）；（2）的方向当或时，规定。数乘向量满足下列运算率（1）；（2）；（3）；其中都是数量。（4），，从而.3．定理：，则的充分必要条件是：存在，。例1．试用向量证明：三角形两边中点的连线

5、平行于第三边且为第三边长度的一半。解：如图，设D是AB的中点，E是AC的中点，则，∵，∴∥且。7.2.3向量在轴上的投影161）两个向量的夹角OAB，，作，规定不超过（设）称为的夹角，记为，即。若中有一个是零向量，则规定它们的夹角可在任意取值。类似地可以规定向量与一轴的夹角或空间两轴的夹角。2）向量在轴上的投影设有向量，过，分别作垂直，它们与轴分别交于，则有向线段，称为投影，记为，即，称为投影轴。注意：向量是一个数量而不是向量。这个数绝对值等于有向线段长度，这个数的符号由的方向决定，当，其值为正；反

6、向时，其值为负。向量在轴上的投影，等于该向量的模乘以这个向量与轴的夹角的余弦，即。易见，。由此可知，两个相等向量在同一轴上的投影相等。7.2.4向量的坐标表示1．向量的坐标（1）基向量（或基本坐标向量）与、、的正向同向的单位向量，分别，称为基向量。16（1）向量的坐标表示式设为空间一点，作向量，分别为点上，上，上的投影点，则在上的坐标，在上的坐标，ABCQMy在上的坐标，则有，同理，。由向量的加法得。称为向量坐标表示式，记作或，其中称为向量。一般地，设，，使其起点移到，因平移后的向量与原向量相等，故

7、它在坐标轴上的投影，故坐标表示式为：。ABy（3）以为起点，为终点的向量的坐标表示式。解：++）-++）++，得的坐标依次为；；，即。由此可知，起点不在坐标原点的向量的坐标，恰好等于向量相应的终点坐标与起点坐标之16差。2．向量的模和方向余弦设非零向量的起点为坐标原点，终点为，则，。的方向可由该向量与三坐标轴正向的夹角（其中，或这三个角的余弦来表示。、、称为向量方向角；、、称为向量方向余弦。MBAC∵，，都是直角三角形，∴，，，且。∵向量的模等于1，∴由方向余弦所组成的向量是单位向量，即。例2．已知

8、、，的方向余弦以及与。解：，，，，。16.例3．设两个方向余弦为，，又，。解：∵，，，∴。，，，∴或。例4．设有两点和，有向线段分成两个部分，使，求的坐标。解：设的坐标为，则有，即，故有，，，解之得的坐标：，，。当时，得的坐标：，，。3.向量运算的坐标表示利用向量的坐标表示式、向量加法的交换律和结合律，以及数乘向量的结合律和分配律，可以将向量的运算转化为普通的代数运算。设，，即，，则16（1），（2）.两个非零向量∥的充要条件是，则可写成或。例5．已知，，求，，。解：