高等数学微分中值定理应用举例.doc

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1、微分中值定理应用举例单调性与极值1.函数在上,比较的大小.解:在上满足拉氏中值定理条件,存在,使得.由于,所以单调增加,而,所以,即.2.函数在上,比较的大小.解:由于,所以单调增加,而,所以在上,同上题讨论有3.在内,判断在内的符号.解:,所以在内为奇函数,为偶函数,为奇函数,在内,所以在内.4.已知函数在区间内具有二阶导数,且严格递增,,则:A.在内均有;B.在内均有;C.在内均有,在内均有;D.在内均有,在内均有.解:令,则,0减0增极小值选择B.5.设处处可导,则A.必;B.必C.必;D.必解:选择D(A,C的反例,B的反例)6.设函数在上有界且可导,则A.必;B.存在,

2、必;C.必;D.存在,必;解:选择A(B,C,D的反例)7.设函数在的邻域内连续,且,,则在处A.不可导;B.可导,且;C.取极大值;D.取极小值解:所以所以在可导,且.,而,所以在的某邻域内,所以在处取极小值.8.为恒大于0的可导函数,且,则当时A.;B.;C.;D.解:,所以为减函数,即当时,又为恒大于0,所以,选择A9.设有二阶连续导数,且,A.是的极大值;B.是的极小值;C.是曲线的拐点;D.不是的极值;也不是曲线的拐点.解:,所以在的邻域内,即曲线是凹的,又,所以是的极小值.选择B10.设函数在的某个邻域内连续,为的极大值,则存在,当时,必有:A.;B.;C.;D..解

3、:为的极大值,则存在,和时,都有,所以时,,所以A,B都不正确.,由于,所以.选择C11.设函数在内有定义,是函数的极大值点,则A.必是的驻点;B.必是的极小值点C.必是的极小值点;D.对一切都有解:选择B12.,则在处A.导数存在,且;B.取极大值;C.取极小值;D.导数不存在解:,所以在的某去心邻域内有,所以在处,取极大值.9.证明:的最大值证明:令,,,所以时,且时,时,所以时的唯一极大值,也是最大值.而的最大值必是中的一个,而,所以是的最大值.不等式的证明1.当时,证明:;证明:令,所以时单调减,而,所以时,,即.2.当时,证明:;证明:时,令,,单调减,而,所以时,,即

4、.方法二,时,,令,则在区间上用拉格朗日中值定理有:其中,所以,即有.3.证明:;证明:设则,令,得唯一驻点,所以是的极小值点,所以又所以,即.4.当,证明;证明:因为,所以,所证等价于零,则,所以时单调增加,而,所以,即,即.5.,证明:;证明:只需证令,则,所以单调减少,而,所以时即单调减少,而,所以时,即,即.6.设,证明:证明:只需证明,设,,所以单调增加,又,所以时,故单调增加.因此,时,而,所以,即时,.所以.7.设在上可导,且单调递减,证明:对任意正数,都有证明:不妨设,令则,当时有,由于单调递减所以,即,所以单调增,即时所以时,,即.8.设,证明:;证明:存在,所

5、以可导,所以可导连续,又,所以,既有令,,,所以是的唯一极小值点,所以,既有.9.,证明:;证明:令,令,,所以时,单调减,所以,而此时,所以,而所以时,时,,所以在时单调减少,且,所以时,即.10.,证明:;证明:令,则,令由上题知时,,所以即在时单调减少.所以时,,所以,即11.证明:时,;证明:令,,时,,曲线在上是凸的,而,时,,即.12.设在上函数有连续导数,且.证明:在内有且仅有一个零点.证明:令,则.所以,在内单调增加,时,,所以.所以,存在,,又,所以在内有根,又,所以单调增加,所以在内有且仅有一个零点.13.设在连续在内存在且大于零,记,证明:在单调增证明:令,

6、则时,所以,所以,即在单调增.关于根的存在及个数问题1.已知,讨论实根的个数.解:令,,令,由于,所以没有根,既有由于,由于在内连续,所以至少有一个根.如果方程有两个实根,则在内满足拉格朗日中值定理,所以存在,使得,这矛盾,所以只有一个实根.练习:设函数在闭区间上可微,对上的任意,函数的值都在开区间内,且,证明:在内有且仅有一个使得(令)2.求证方程恰有一个实根.(其中为常数,)证明:令,取,则,由在上连续,由介值定理知,存在,使得,所以方程有一个实根.又,由于,所以,即单调增,所以只有一个实根.3.设,求在内根的个数.解:,得唯一驻点,且为函数极小值点,所以在内根的个数为0.练

7、习:确定方程在内根的个数4.时,有且仅有一解,求的取值范围.解:令,时,有且仅有一解,所以必存在,使得时,,所以,反之,如果时,所以单调减,所以有且仅有一解.5.设在上连续,在内可导,且,,证明:1)存在,;2)对任意的,存在,使得分析:要构造一个函数,使其导数中含有因子,且,由于,是的导数,所以可设下面确定,由于,比较,只需,所以证明:6.设函数在上连续且可导,又则对任意,存在,使分析:所证为,所以,令,如果,在上用罗尔定理,如果,则异号,所以存在,使,在上用罗尔定理7..设函

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