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1、*三、二重积分的换元法第二节二、利用极坐标计算二重积分机动目录上页下页返回结束二重积分的计算二极坐标下二重积分的计算(一)极坐标知识回顾1定义:在平面取一点O称为原点,称为极轴.O平面上任意点P向量OP与极轴为夹角为则点P由数组唯一确定,称数组是点P的极坐标.P从原点出发作一条射线与原点距离为曲线上点的极坐标满足的方程称为曲线的极坐标方程.O例:如图半径为与极轴相切,且圆心与原点连线垂直于极轴,求圆的极坐标方程.P对圆上任意一点设其极坐标为则三角形是直角三角形,且故故圆的极坐标方程为OP若平面上极坐标系与直角坐标系关系如图.对平面上的点P设其极坐标与直角坐标分别是和则它们有关系以下假设平面
2、有极坐标系与直角坐标系且关系如上2极坐标与直角坐标的关系法一:根据曲线的几何特征及与几何含义建立方程OP法二:根据直角坐标方程以及极坐标与直角坐标关系建立圆的直角坐标方程为圆的极坐标方程为如图圆的极坐标方程为3曲线的极坐标方程的求法例如图P法一法二:圆的直角坐标方程为故即故圆的极坐标方程为例如图P法一法二:圆的直角坐标方程为故圆的极坐标方程为例如图直线P法一法二:由直线直角坐标方程为得故直线极坐标方程为记为(二)极坐标下的型简单区域定义:若区域D在极坐标下是由及其中围成.则称D为极坐标下的型简单区域特征若区域D的的取值为对从原点出发以为角做射线与区域边界交点至多两个:为什么引用极坐标计算二
3、重积分21D0yxD1D2D3D4D:.怎么计算？需使用极坐标系！此题用直角系算麻烦必须把D分块儿!二、利用极坐标计算二重积分机动目录上页下页返回结束引例.其中D为解:将转化为二次积分,D0yxD1D2D3D4分割D为又如计算其中的原函数不是初等函数,故本题无法用直角坐标计算.由于机动目录上页下页返回结束本题解法见后面例题8还可举例极坐标系下的面积元素将变换到极坐标系0Diriri+1......利用极坐标计算二重积分iii+iI=rir..机动目录上页下页返回结束用坐标线:=常数；r=常数分割区域D怎样利用极坐标计算二重积分(1)1.极点不在区域D的内部0ABFE
4、DD:rr0ABFEDD:.1.极点不在区域D的内部r0ABFEDD:.步骤：1从D的图形找出r,上、下限；2化被积函数为极坐标形式；3面积元素dxdy化为rdrd.1.极点不在区域D的内部r2.极点位于区域D的内部0DrD:怎样利用极坐标计算二重积分(2)r机动目录上页下页返回结束D:D0.2.极点位于区域D的内部r机动目录上页下页返回结束D:.D0步骤：1从D的图形找出r,上、下限；2化被积函数为极坐标形式；3面积元素dxdy化为rdrd.2.极点位于区域D的内部r机动目录上页下页返回结束0yx2a..解例1..机动目录上页下页返回结束（第一象限部分）(极点不
5、在区域D的内部)此题用直角系算麻烦，需使用极坐标系！21D0yxD:变换到极坐标系..例2.计算D:=1和=2围成机动目录上页下页返回结束例2续其中D为计算D0yxD1D2D3D4解:在极坐标系下故2R区域边界：x=0.0yx即r=2Rsinr=2Rsin例3..机动目录上页下页返回结束0yx12y=xD..例4.机动目录上页下页返回结束0yx4r=4cosr=8cos8D12例5.计算y=2xx=y机动目录上页下页返回结束0yxr=8cosD48.r=4cos21例5..计算I=机动目录上页下页返回结束例6计算其中D为由圆所围成的及直线解：平面闭区域.机动目
6、录上页下页返回结束例7.将积分化为极坐标形式y=RxD1D2..R0yxD...arctanR.I=I=机动目录上页下页返回结束r=R若f≡1则可求得D的面积思考:下列各图中域D分别与x,y轴相切于原点,试答:问的变化范围是什么?(1)(2)机动目录上页下页返回结束(极点位于区域D的内部)例:判断下列区域是否是简单区域若是请表示出来.例8.计算其中解:在极坐标系下原式的原函数不是初等函数,故本题无法用直角坐标计算.由于故机动目录上页下页返回结束注:利用例8可得到一个在概率论与数理统计及工程上非常有用的反常积分公式事实上,当D为R2时,利用例8的结果,得①故①式成立.机动目录上页下页返回结
7、束例9.求球体被圆柱面所截得的(含在柱面内的)立体的体积.解:设由对称性可知机动目录上页下页返回结束常用D到D’的转换机动目录上页下页返回结束极坐标下的二次积分注释作业P138-1392;3;4(2),(4);5(2),(4);6第三节目录上页下页返回结束定积分换元法三*、二重积分换元法满足一阶导数连续;雅可比行列式(3)变换则定理:变换:是一一对应的,机动目录上页下页返回结束证:根据定理条件可知变换T可逆.用平行于坐标
