2019-2020学年高中数学人教A版必修5同步作业与测评：2.5.3 数列求和 Word版含解析.pdf

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1、第17课时数列求和知识点一分组求和法1．求和：(a－1)＋(a2－2)＋…＋(an－n)(a≠0)．解原式＝(a＋a2＋…＋an)－(1＋2＋…＋n)nn＋1＝(a＋a2＋…＋an)－2a1－annn＋1－a≠1，1－a2＝nn2－a＝1.223925652．求数列，，，，…的前n项和．2481611111解S＝1＋＋2＋＋3＋＋4＋＋…＋n＋n22223242n111＝(1＋2＋3＋…＋n)＋＋＋…＋2222n111－n1＋n22n＝＋211－2n2＋n1＝＋1－．22n知识点二裂项相消法11

2、13．求和：1＋＋＋…＋．1＋21＋2＋31＋2＋3＋…＋n1211解∵a＝＝＝2－，n1＋2＋…＋nnn＋1nn＋1111112n∴S＝21－＋－＋…＋－＝．n223nn＋1n＋14．已知数列{a}的前n项和为S，a＝2，S＝n2＋n．nn1n(1)求数列{a}的通项公式；n1(2)设的前n项和为T，求证T＜1．Snnn解(1)∵S＝n2＋n，∴当n≥2时，na＝S－S＝n2＋n－(n－1)2－(n－1)＝2n，nnn－1又a＝2满足上式，1∴a＝2n(n∈N*)．n(2)证明：∵S＝n2＋n＝n(n＋1)，n1111∴＝

3、＝－，Snn＋1nn＋1n11111∴T＝1－＋－＋…＋－n223nn＋111＝1－．∵n∈N*，∴＞0，即T＜1．n＋1n＋1n知识点三错位相减法a5．已知a＝n－2n，b＝n，S为数列{b}的前n项和，求S的表达式．nn2nnnnan解因为a＝n－2n，b＝n，所以b＝－1，nn2nn2n12n12n所以S＝b＋b＋…＋b＝－1＋－1＋…＋－1＝＋＋…＋－n12n2222n2222nn，12n令T＝＋＋…＋，n2222n112n则T＝＋＋…＋，2n22232n＋111111

4、n两式相减得T＝＋＋＋…－2n222232n2n＋11n＝1－－，2n2n＋1n＋2n＋2所以T＝2－，即S＝2－－n．n2nn2n116．已知数列{a}是首项a＝，公比q＝的等比数列，设b＋3loga＋2＝0，n144n4n数列{c}满足c＝a·b．nnnn(1)求数列{b}的通项公式；n(2)求数列{c}的前n项和S．nn1解(1)由题意，得a＝n，n4又b＝－3loga－2，故b＝3n－2．n4nn1(2)由(1)知a＝n，b＝3n－2，n4n1所以c＝(3n－2)n．n411111所以S＝1×＋4×2＋7×3＋…＋(3n

5、－5)×n－1＋(3n－2)×n，①n44444111111于是S＝1×2＋4×3＋7×4＋…＋(3n－5)×n＋(3n－2)×n＋1．②4n44444①－②，得31111111S＝＋3×2＋3＋…＋n－(3n－2)×n＋1＝－(3n＋2)×n＋1．4n444442423n＋21所以S＝－×n．n334知识点四倒序相加求和2＋x7．已知数列{a}的通项公式为a＝n－2(n∈N*)，设f(x)＝x＋log，则数nn28－x列{f(a)}的各项之和为()nA．36B．33C．30D．27答案D2＋x2＋x解析由f(x)＝x＋log，

6、可知＞0，解得－2＜x＜8．{f(a)}中－2＜a28－x8－xnn8－x＜8，又a＝n－2，所以a＝－1，0，1，2，…7．由f(6－x)＝6－x＋log可得nn22＋xf(x)＋f(6－x)＝6．且有f(3)＝3，数列{f(a)}的各项之和为f(a)＋f(a)＋…＋f(a)n129＝f(－1)＋f(0)＋…＋f(7)＝[f(－1)＋f(7)]＋[f(0)＋f(6)]＋[f(1)＋f(5)]＋[f(2)＋f(4)]＋f(3)＝4×6＋3＝27．故选D．111220188．已知函数f(x)＝x＋3sinx－＋，则f＋f＋…＋f＝

7、________．22201920192019答案20181111解析∵f(a)＋f(1－a)＝a＋3sina－＋＋1－a＋3sin1－a－＋＝2＋3sina222211－＋3sin－a＝2，22122018设S＝f＋f＋…＋f，①201920192019201820171则S＝f＋f＋…＋f．②20192019201912018①＋②得2S＝2018×f＋f＝4036，∴S＝2018．20192019易错点一公式使用条件考虑不周全9．已知数列{a}的前n项和为S＝3n＋2n＋1，求a．nnnSn＝1，1易错分析公式a＝

8、是分段的，因为n＝1时，S无意义．在n－Sn≥2n－1Snn－1解答中，应加上限制条件n≥2，然后验证n＝1时的值是否适合n≥2时的表达式．本题易错解为a＝2·3n－1＋2．n解a＝S＝6；11当n≥2时，a＝S－S＝(3n＋2n＋1)－[3n－1＋2(n