2019年数学新同步湘教版选修2-1讲义+精练：第3章 3.3 直线的方向向量 Word版含解析.pdf

《2019年数学新同步湘教版选修2-1讲义+精练：第3章 3.3 直线的方向向量 Word版含解析.pdf》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。

1、3．3直线的方向向量[读教材·填要点]1．直线的方向向量一般地，如果向量v≠0与直线l平行，就称v为l的方向向量．2．直线的方向向量的应用(1)两条直线垂直它们的方向向量垂直．―→―→(2)要证明两条直线平行，只要证明这两条直线不重合，并且它们的方向向量AB与CD―→―→平行，也就是证明其中一个方向向量是另一个方向向量的实数倍：CD＝kAB(k是某个实数)．(3)求两条异面直线AB，CD所成的角．―→―→若两条异面直线AB，CD所成的角为α，AB，CD所成的角为α，则cosα＝

2、cos_α

3、11―→―→

4、AB·CD

5、＝.―→―→

6、

7、AB

8、·

9、CD

10、[小问题·大思维]1．直线的方向向量是唯一的吗？若不唯一，直线的方向向量之间的关系是怎样的？提示：直线的方向向量不是唯一的，直线的不同的方向向量是共线向量．2．两条异面直线所成的角与它们的方向向量所成的角之间有什么关系？提示：相等或互补．求异面直线所成的角(2017·全国卷Ⅱ)已知直三棱柱ABC-ABC中，∠ABC＝120°，AB＝2，BC111＝CC＝1，则异面直线AB与BC所成角的余弦值为()111315A.B.25103C.D.53[自主解答]以B为坐标原点，BC所在的直线为x轴，垂直于111BC的直线为y轴

11、，BB所在的直线为z轴建立空间直角坐标系，如图111所示．由已知条件知B(0,0,0)，B(0,0,1)，C(1,0,0)，A(－1，3，1)，11―→―→则BC＝(1,0，－1)，AB＝(1，－3，－1)．11―→―→―→―→AB·BC210所以cos〈AB，BC〉＝11＝＝.11―→―→5×25

12、AB

13、·

14、BC

15、1110所以异面直线AB与BC所成的角的余弦值为.115[答案]C利用向量求异面直线所成角的步骤为：(1)确定空间两条直线的方向向量；(2)求两个向量夹角的余弦值；(3)比较余弦值与0的大小，确定向量夹角的范围；(4)

16、确定线线角与向量夹角的关系：当向量夹角为锐角时，即为两直线的夹角；当向量夹角为钝角时，两直线的夹角为向量夹角的补角．1.如图，在四棱锥O-ABCD中，底面ABCD是边长为1的菱形，∠πABC＝.OA⊥底面ABCD，OA＝2，M为OA的中点．求异面直线AB与4MD所成角的大小．解：作AP⊥CD于点P.如图，分别以AB，AP，AO所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系．则A(0,0,0)，B(1,0,0)，22D－2，2，0，M(0,0,1)．设AB和MD所成角为θ，―→∵AB＝(1,0,0)，―→22MD＝－，，－1，

17、22―→―→

18、AB·MD

19、1∴cosθ＝＝.―→―→2

20、AB

21、·

22、MD

23、π∴θ＝.3π∴异面直线AB与MD所成角的大小为.3证明线线垂直已知正三棱柱ABC-ABC的各棱长都为1，M是底面上BC边的中点，N是侧棱CC11111上的点，且CN＝CC.求证：AB⊥MN.411[自主解答]法一：(基向量法)―→―→―→设AB＝a，AC＝b，AA＝c，则由已知条件和正三棱柱的性质，得1

24、a

25、＝

26、b

27、＝

28、c

29、＝1，a·c＝b·c＝0，―→―→1―→1AB＝a＋c，AM＝(a＋b)，AN＝b＋c，124―→―→―→111MN＝AN－AM＝－

30、a＋b＋c，224―→―→111∴AB·MN＝(a＋c)·－a＋b＋c1224111＝－＋cos60°＋＝0.224―→―→∴AB⊥MN.∴AB⊥MN.11法二：(坐标法)设AB中点为O，作OO∥AA.11以O为坐标原点，以OB，OC，OO所在直线分别为x轴，y轴，1z轴建立如图所示的空间直角坐标系．由已知得113A－2，0，0，B2，0，0，C0，2，0，311N0，，，B，0，1，241213∵M为BC中点，∴M4，4，0.―→131―→∴MN＝－，，，AB＝(1,0

31、,1)，4441―→―→11MN·AB＝－＋0＋＝0.144―→―→∴MN⊥AB.∴AB⊥MN.11利用向量法证明空间两条直线互相垂直，其主要思路是证明两直线的方向向量相互垂直．(1)利用坐标法时要建立适当的空间直角坐标系，并能准确地写出相关点的坐标．(2)利用基向量法证明的关键是能用基向量正确表示出相关的向量．2．直四棱柱ABCD-ABCD中，底面ABCD是矩形，AB＝2，AD＝1，AA＝3，M11111是BC的中点．在DD上是否存在一点N，使MN⊥DC？并说明理由．11解：如图所示，建立以D为坐标原点，DA，DC，DD所在

32、直线分别为x轴，y轴，z11轴的空间直角坐标系，则C1(0,2,3)，M2，2，0，D(0,0,0)，设存在N(0,0，h)，―→1―→则MN＝－2，－2，h，DC1＝(0,2,3)，―→―→1MN·DC1＝－2，－2，h·