2019年数学新同步湘教版选修2-1讲义+精练：第3章 3.8 共面与平行 Word版含解析.pdf

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1、3．8共面与平行[读教材·填要点]1．共面(1)如果若干个图形在同一个平面内，就称这些图形共面．―→(2)A，B，C，D共面⇔直线AD在平面ABC内⇔AD⊥n(其中n为平面ABC的法向量)．2．直线与平面共面或平行的判定一般地，设n是平面α的一个法向量，v是直线l的方向向量，则v⊥n⇔l∥α或l⊂α.如果v⊥n且l上至少有一点A∈α，则l⊂α.如果v⊥n且l上至少有一点Aα，则l∥α.[小问题·大思维]若直线l的方向向量为u＝(－3,4,2)，平面α的一个法向量为v＝(2,2，－1)，那l与α的位置关系是什么？提示：∵u·v＝(－3,4,2)·(2

2、,2，－1)＝－6＋8－2＝0，∴u⊥v.∴l∥α或l⊂α.四点共面问题判断A(1,0,1)，B(4,4,6)，C(2,2,3)，D(10,14,17)四点是否共面，并说明理由．[自主解答]∵A(1,0,1)，B(4,4,6)，C(2,2,3)，―→―→∴AB＝(3,4,5)，AC＝(1,2,2)设平面ABC的法向量n＝(x，y，z)，―→―→则n·AB＝0，且n·AC＝0，3x＋4y＋5z＝0，即∴x＋z＝0.x＋2y＋2z＝0，1令x＝1，则z＝－1，y＝，21∴n＝1，2，－1.―→又∵D(10,14,17)，∴AD＝(9,

3、14,16)，―→1∴AD·n＝(9,14,16)·1，，－121＝9×1＋14×－16＝0，2―→∴n⊥AD.又∵A∈平面ABC，∴AD⊂平面ABC，∴A，B，C，D四点共面．―→(1)A，B，C，D共面⇔直线AD在平面ABC内⇔AD⊥n.(2)(共面向量定理)如果A，B，C三点不共线，则点M在平面ABC内的充分必要条件―→―→―→是，存在一对实数x，y，使向量表达式AM＝xAB＋yAC成立．1．空间直角坐标系中，已知A(3,0,0)，B(0,4,0)，C(0,0,2)，P(x，y，z)是平面ABC内任意一点，试求x，y，z满足的方程．解

4、：∵A(3,0,0)，B(0,4,0)，C(0,0,2)，―→―→∴AB＝(－3,4,0)，AC＝(－3,0,2)．设n＝(x，y，z)为平面ABC的一个法向量，―→―→则n·AB＝0，且n·AC＝0，∴－3x1＋4y1＝0，令x1＝4，则y1＝3，z1＝6，－3x＋2z＝0，11即n＝(4,3,6)．又∵P(x，y，z)在平面ABC内，―→∴AP·n＝0，即(x－3，y，z)·(4,3,6)＝0，∴4x－12＋3y＋6z＝0，即4x＋3y＋6z＝12.证明线面平行、面面平行已知正方体ABCD-ABCD的棱长为2，E，F分别是BB，DD的

5、中点，求111111证：(1)FC∥平面ADE；1(2)平面ADE∥平面BCF.11[自主解答]如图所示建立空间直角坐标系D-xyz，则有D(0,0,0)，A(2,0,0)，E(2,2,1)，C(0,2,2)，1F(0,0,1)，B(2,2,2)，1―→―→―→所以FC＝(0,2,1)，DA＝(2,0,0)，AE＝(0,2,1)．1(1)设n＝(x，y，z)是平面ADE的法向量，1111―→―→则n⊥DA，n⊥AE，11―→n·DA＝2x＝0，11即―→n·AE＝2y＋z＝0，111x＝0，1得令z＝2，则y＝－1，＝－2y，11

6、z11所以n＝(0，－1,2)．1―→―→因为FC·n＝－2＋2＝0，所以FC⊥n.1111又因为FC平面ADE，1所以FC∥平面ADE.1―→(2)∵CB＝(2,0,0)，11设n＝(x，y，z)是平面BCF的一个法向量．222211―→―→则n⊥FC，n⊥CB，21211n·―FC→＝2y＋z＝0，2122即―→n·CB＝2x＝0，2112x＝0，2得z＝－2y.22令z＝2得y＝－1，22所以n＝(0，－1,2)．因为n＝n，212所以平面ADE∥平面BCF.11(1)用向量法证明线面平行：一是证明直线的方向向量与平面内

7、的某一向量是共线向量且直线不在平面内；二是证明直线的方向向量与平面内的两个不共线向量是共面向量且直线不在平面内；三是证明直线的方向向量与平面的法向量垂直且直线不在平面内．(2)利用空间向量证明面面平行，通常是证明两平面的法向量平行．2.如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝2，AF＝1，M是线段EF的中点．求证：AM∥平面BDE.证明：建立如图所示的空间直角坐标系．设AC∩BD＝N，连接NE，22则点N，E的坐标分别是，，0，(0,0,1)．22―→22∴NE＝－，－，1.2222又点A，M的坐标分别是

8、(2，2，0)，，，1，22―→22∴AM＝－，－，1.22―→―→∴NE＝AM，且A∉NE，∴NE∥AM.又