2019年数学新同步湘教版选修2-1讲义+精练：第1章 1.1.1 命题的概念和例子 Word版含解析.pdf

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1、1．1命题及其关系1．1.1命题的概念和例子[读教材·填要点]1．命题的概念可以判断成立或不成立的语句叫作命题．2．命题的分类(1)真命题：成立的命题叫作真命题．(2)假命题：不成立的命题叫作假命题．(3)猜想：暂时不知道真假的命题可以叫作猜想．[小问题·大思维]1．如果一个语句是命题，它必须具备什么条件？提示：如果一个语句是命题，那么该语句所陈述的事情必须能够判断其成立或不成立．2．数学中的定义、公理、定理、公式等是否是命题？是真命题还是假命题？提示：数学中的定义、定理、公理、公式等都是命题，且都是真命题．命题的概念判断下列语句是否是命题，并说明理由．(1)求证

2、π是无理数；(2)若x∈R，则x2＋4x＋5≥0；(3)一个数的算术平方根一定是负数；(4)梯形是不是平面图形呢？[自主解答](1)是祈使句，不是命题；(2)可以判断其是否成立，故为命题；(3)是命题，并且是假命题，因为一个数的算术平方根为非负数；(4)“梯形是不是平面图形呢？”是疑问句，所以它不是命题．判断一个语句是否是命题，关键是看语句的格式，也就是要看它是否符合“可以判断成立或不成立”这个条件，如果满足这个条件，该语句就是命题，否则就不是．1．判断下列语句是否为命题，并说明理由．(1)若平行四边形的边都相等，则它是菱形；(2)空集是任何非空集合的真子集；(3

3、)对顶角相等吗？(4)x>3.解：(1)能判断其是否成立，是命题；(2)能判断其是否成立，是命题；(3)是疑问句，不是命题；(4)不能判断其是否成立，不是命题．真假命题的判断判断下列命题的真假，并说明理由．(1)如果学好了数学，那么就会使用电脑；(2)若x＝3或x＝7，则(x－3)(x－7)＝0；(3)正方形既是矩形又是菱形；(4)若a，b都是奇数，则ab必是奇数．[自主解答](1)是假命题，学好数学与会使用电脑不具有因果关系，因而无法推出结论，故为假命题．(2)是真命题，x＝3或x＝7能得到(x－3)(x－7)＝0.(3)是真命题，由正方形的定义知正方形既是矩形

4、又是菱形．(4)是真命题，令a＝2k＋1，b＝2k＋1(k，k∈Z)，1212则ab＝2(2kk＋k＋k)＋1，1212显然2kk＋k＋k是一个整数，1212故ab是奇数．若将本例(4)中的“奇数”改为“无理数”，判断该命题的真假．解：当a＝5，b＝－5时，a，b都是无理数，但5×(－5)＝－5是有理数，故该命题为假命题．判断命题真假的策略(1)要判断一个命题是真命题，一般要有严格的证明或有事实依据，比如根据已学过的定义、公理、定理证明或根据已知的正确结论推证．(2)要判断一个命题是假命题，只要举一个反例即可．2．判断下列命题的真假，并说明理由．(1)形如a＋6b

5、的数是无理数；(2)一个等比数列的公比大于1时，该数列为递增数列；(3)奇函数的图象关于原点对称；(4)能被2整除的数一定能被4整除．解：(1)假命题，反例：a是有理数且b＝0，则a＋6b是有理数．(2)假命题．若数列{a}为等比数列，且a＝－1，q＝2，则该数列为递减数列．n1(3)真命题．根据奇函数的性质可知奇函数的图象一定关于原点对称．(4)假命题．反例：如2,6能被2整除，但不能被4整除．命题的综合问题试探究命题“方程ax2＋bx＋1＝0有实数解”为真命题时，a，b满足的条件．[自主解答]方程ax2＋bx＋1＝0有实数解，要考虑方程为一元一次方程和一元二次

6、方程两种情况：1当a＝0时，方程ax2＋bx＋1＝0为bx＋1＝0，只有当b≠0时，方程有实数解x＝－；b当a≠0时，方程ax2＋bx＋1＝0为一元二次方程，方程有实数解的条件为Δ＝b2－4a≥0.综上知，当a＝0，b≠0或a≠0，b2－4a≥0时，方程ax2＋bx＋1＝0有实数解．(1)并不是任何语句都是命题．要判断一个句子是否为命题，关键在于能否判断其成立或不成立．一般地，疑问句、祈使句、感叹句都不是命题．(2)一个命题要么是真的，要么是假的，二者必居其一．3．下面的命题中是真命题的是()A．y＝sin2x的最小正周期为2πcB．若方程ax2＋bx＋c＝0(a

7、≠0)的两根同号，则>0aC．如果M⊆N，那么M∪N＝M―→―→D．在△ABC中，若AB·BC>0，则B为锐角1－cos2x2π解析：选By＝sin2x＝，T＝＝π，故A为假命题；当M⊆N时，M∪N＝22―→―→―→―→N，故C为假命题；在三角形ABC中，当AB·BC>0时，向量AB与BC的夹角为锐角，B应为钝角，故D为假命题．故选B.解题高手妙解题什么是智慧，智慧就是简单、高效、不走弯路若命题“如果5x－1>a，那么x>1”是真命题，求实数a的取值范围．[巧思]“如果5x－1>a，那么x>1”是真命题，则不等式5x－1>a的解集是x>1的子集．1[妙解]由5x－

8、1>a，得