2020数学(理)二轮专题限时集训：14 导数的综合应用 Word版含解析.pdf

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1、专题限时集训(十四)导数的综合应用(建议用时：40分钟)lnx＋21．已知函数f(x)＝.x(1)求函数f(x)在[1，＋∞)上的值域；(2)若x∈[1，＋∞)，lnx(lnx＋4)≤2ax＋4恒成立，求实数a的取值范围．－1－lnx[解](1)易知f′(x)＝＜0(x≥1)，x2∴f(x)在[1，＋∞)上单调递减，f(x)＝f(1)＝2.max∵x≥1时，f(x)＞0，∴f(x)在[1，＋∞)上的值域为(0,2]．(2)令g(x)＝lnx(lnx＋4)－2ax－4，x∈[1，＋∞)，lnx＋2则g′(x)＝2－a，x①若a≤0，则由(1)可知，g′(x)＞0

2、，g(x)在[1，＋∞)上单调递增，∵g(e)＝1－2ae＞0，与题设矛盾，∴a≤0不符合要求．②若a≥2，则由(1)可知，g′(x)≤0，g(x)在[1，＋∞)上单调递减．∴g(x)≤g(1)＝－2a－4＜0，∴a≥2符合要求．lnx＋20③若0＜a＜2，则x∈(1，＋∞)，使得＝a，0x0则g(x)在[1，x)上单调递增，在(x，＋∞)上单调递减，00∴g(x)＝g(x)＝lnx(lnx＋4)－2ax－4.max0000∵lnx＝ax－2，00∴g(x)＝(ax－2)(ax＋2)－2ax－4＝(ax＋2)(ax－4)．max00000由题意知g(x)≤0，即(ax＋2

3、)(ax－4)≤0，－2≤ax≤4，max000即－2≤lnx＋2≤41＜x≤e2.00lnx＋2lnx＋20∵a＝，且由(1)可知f(x)＝在(1，＋∞)上单调递减，xx04∴≤a＜2.e24综上，a的取值范围为，＋∞.e22．已知函数f(x)＝x2－(a－2)x－alnx(a∈R)．(1)求函数y＝f(x)的单调区间；(2)当a＝1时，证明：对任意的x＞0，f(x)＋ex＞x2＋x＋2.a[解](1)函数f(x)的定义域是(0，＋∞)，f′(x)＝2x－(a－2)－xx＋12x－a＝，x当a≤0时，f′(x)＞0对任意x∈(0，＋∞)恒成立，所以，

4、函数f(x)在区间(0，＋∞)单调递增；a当a＞0时，由f′(x)＞0得x＞，2a由f′(x)＜0，得0＜x＜，2a所以，函数在区间，＋∞上单调递增，2a在区间0，上单调递减．2(2)证明：当a＝1时，f(x)＝x2＋x－lnx，要证明f(x)＋ex＞x2＋x＋2，只需证明ex－lnx－2＞0，设g(x)＝ex－lnx－2，则问题转化为证明对任意的x＞0，g(x)＞0，11令g′(x)＝ex－＝0，得ex＝，xx1x容易知道该方程有唯一解，不妨设为x，则x满足e0＝，00x0当x变化时，g′(x)和g(x)变化情况如下表x(0，x)x(x，＋∞)0

5、00g′(x)－0＋g(x)递减递增1xg(x)＝g(x)＝e0－lnx－2＝＋x－2，min00x00因为x＞0，且x≠1，所以g(x)＞21－2＝0，00min因此不等式得证．3．已知函数f(x)＝ex(1＋alnx)，其中a＞0，设f′(x)为f(x)的导函数．(1)设g(x)＝e－xf′(x)，若g(x)≥2恒成立，求a的取值范围；(2)设函数f(x)的零点为x，函数f′(x)的极小值点为x，当a＞2时，求证：x010＞x.1a[解](1)由题设知，f′(x)＝ex1＋＋alnx(x＞0)，xaax－1g(x)＝e－xf′(x)＝1＋＋alnx，g

6、′(x)＝(x＞0)．xx2当x∈(0,1)时，g′(x)＜0，g(x)在区间(0,1)上单调递减，当x∈(1，＋∞)时，g′(x)＞0，g(x)在区间(1，＋∞)上单调递增，故g(x)在x＝1处取得最小值，且g(1)＝1＋a.由于g(x)≥2恒成立，所以1＋a≥2，得a≥1，即a的取值范围为[1，＋∞)．a(2)证明：设h(x)＝f′(x)＝ex1＋＋alnx，x2aa则h′(x)＝ex1＋－＋alnx.xx22aa设H(x)＝1＋－＋alnx(x＞0)，xx22a2aaax2－2x＋2则H′(x)＝－＋＋＝＞0，x2x3xx3故H(x)在(

7、0，＋∞)上单调递增，1因为a＞2，所以H(1)＝a＋1＞0，H＝1－aln2＜0，21故存在x∈，1，使得H(x)＝0，222则h(x)在区间(0，x)上单调递减，在区间(x，＋∞)上单调递增，22故x是h(x)的极小值点，因此x＝x.2211由(1)可知，当a＝1时，lnx＋≥1.xxax因此h(x)≥h(x)＝e11＋＋alnx＞e1(1＋a)＞0，即f(x)在(0，＋∞)上单调1x11递增．2aaa2a由于H(x)＝0，即1＋－＋alnx＝0，即1＋alnx＝－，1xx211x2x1