2019届高三数学备考冲刺140分问题04函数中的存在性与恒成立问题含解析.pdf

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1、问题04函数中的存在性与恒成立问题一、考情分析函数内容作为高中数学知识体系的核心,也是历年高考的一个热点.在新课标下的高考越来越注重对学生的综合素质的考察,恒成立与存在性问题便是一个考察学生综合素质的很好途径,它主要涉及到一次函数、二次函数、三角函数、指数函数和对数函数等常见函数的图象和性质及不等式等知识,渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法,在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用,故备受高考命题者的青睐,成为高考能力型试题的首选.二、经验分享(1)设f(x)ax2bxc(a

2、0),（1）f(x)0在xR上恒成立a0且0；（2）f(x)0在xR上恒成立a0且0.(2)对于一次函数f(x)kxb,x[m,n]有：f(m)0f(m)0f(x)0恒成立,f(x)0恒成立f(n)0f(n)0(3)根据方程有解求参数范围,若参数能够分离出来,可把求参数范围转化为求函数值域．(4)利用分离参数法来确定不等式fx,0,（xD,为实参数）恒成立中参数的取值范围的基本步骤:①将参数与变量分离,即化为gfx（或

3、gfx）恒成立的形式；②求fx在xD上的最大（或最小）值；③解不等式gf(x)(或gfx),得的取值范围.maxmin(5)对于参数不能单独放在一侧的,可以利用函数图象来解.利用数形结合解决恒成立问题,应先构造函数,作出符合已知条件的图形,再考虑在给定区间上函数与函数图象之间的关系,得出答案或列出条件,求出参数的范围.(6)某些含参不等式恒成立问题,在分离参数会遇到讨论的麻烦或者即使能容易分离出参数与变量,但函数的最值却难以求出时,可考虑变换思维角度.即把主元与参

4、数换个位置,再结合其它知识,往往会取得出奇制胜的效果.三、知识拓展(1)恒成立问题①.∀x∈D,均有f(x)>A恒成立,则f(x)>A；min②.∀x∈D,均有f(x)﹤A恒成立,则f(x)g(x)恒成立,则F(x)=f(x)-g(x)>0,∴F(x)>0；min④.∀x∈D,均有f(x)﹤g(x)恒成立,则F(x)=f(x)-g(x)<0,∴F(x)<0；max⑤.∀x∈D,∀x∈E,均有f(x)>g(x)恒成立,则f(x)>g(x)；1212minmax⑥.∀

5、x∈D,∀x∈E,均有f(x)A成立,则f(x)>A；00max②.∃x∈D,使得f(x)﹤A成立,则f(x)g(x)成立,设F(x)=f(x)-g(x),∴F(x)>0；000max④.∃x∈D,使得f(x)g(x)成立,则f(x)>g(x)；

6、1212maxmin⑥.∃x∈D,∃x∈E,均使得f(x)g(x)成立,则f(x)>g(x)；1212minmin②∀x∈D,∃x∈E,使得f(x)

7、axmax四、题型分析解决高中数学函数的存在性与恒成立问题常用以下几种方法：①函数性质法；②分离参数法；③主参换位法；④数形结合法等.(一)函数性质法【例1】已知函数f(x)＝x3－ax2＋10,若在区间[1,2]内至少存在一个实数x,使得f(x)<0成立,求实数a的取值范围．【分析】本题实质是存在性问题【点评】解法一在处理时,需要用分类讨论的方法,讨论的关键是极值点与区间[1,2]的关系；解法二是用的参数分离,由于ax2>x3＋10中x2∈[1,4],所以可以进行参数分离,而无需要分类讨论．【牛刀小试

8、】【2017山西大学附中第二次模拟】设函数fxex2x1axa,其中a1,若存在唯一的整数t,使得ft0,则a的取值范围是（）333333A．,1B．,C．,D．,12e2e42e42e【答案】D【解析】令gxex2x1,hxaxa.由题意知存在唯一整数t,使得gt在直线hx的下方.g'xex2x1,当x1时,函数单调递减