关于矩阵秩的讨论.ppt

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1、关于矩阵秩的讨论学院：数学计算机学院专业：数学与应用数学（师范）年级：09级（1）班学生:王学丽学号:FNS32010036指导老师：纳艳萍目的及意义运用矩阵的秩可以解决很多的问题.线性代数和解析几何中的一些问题都可以用它来刻画.为了对它有更加深刻的理解，本论文对矩阵的秩进行了讨论.研究的目的及意义目录1矩阵的秩2矩阵的秩的性质3矩阵的秩在不同问题中的应用定义1（向量组的秩）一个向量组的极大线性无关组所含向量的个数称为这个向量组的秩.所谓矩阵的行秩就是矩阵的行向量组的秩，矩阵的列秩就是矩阵的列向量组的秩.矩阵的行秩等于矩阵的列秩,并统称为矩阵的秩.定义2（阶子式）矩阵的秩等于它非零子式

2、的最高阶数.矩阵的秩矩阵秩的性质1矩阵的秩的基本性质(1)设是的矩阵，则(2)(3)设为阶方阵，则矩阵秩的性质2矩阵与矩阵的秩的运算性质(4)设矩阵和分别是和矩阵，则，特别的，则(6)设矩阵和分别是矩阵，则(7)若同解，则(8)设是一个矩阵，如果是可逆矩阵，是可逆矩阵，那么矩阵秩的应用矩阵的秩在线性代数中的应用（1）线性方程组解的情况（2）向量组的线性相关性（3）方阵是否可逆矩阵的秩在解析几何中的应用（1）空间平面与平面的位置关系（2）空间直线与直线的位置关系（3）空间平面与直线的位置关系齐次方程组解的判定1矩阵的秩在解线性方程组问题时的应用定理1设有线性方程组(4.1)其中，则有:(

3、1)线性方程组(4.1)有解,即系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩;(2)线性方程组(4.1)有唯一解(为未知数的个数);(3)线性方程组(4.1)有无穷多组解矩阵的秩在线性代数中的应用矩阵的秩在线性代数中的应用2矩阵的秩在判定向量组线性相关性的应用定义1给定一向量组如果存在不全为零的数,使，则称组向量组是线性相关的.否则称这组向量是线性无关的.定理2维向量组线性相关的充要条件是它所构成的的系数矩阵的秩是小于向量个数，即线性无关的充要条件是矩阵的秩在线性代数中的应用3矩阵的秩在讨论方阵问题中的应用定义2设是阶矩阵,如果存在阶矩阵，使得（单位矩阵）成立，则称是可逆矩阵，是的逆矩阵.定理3阶矩阵

4、可逆的充分必要条件是或矩阵的秩在解析几何中的应用4空间平面与平面之间的位置关系定理4设平面的方程分别为设的系数矩阵为，增广矩阵为，则(1)当时，平面与相交于一条直线;(2)当时，平面与重合;(3)当，，平面与平行.矩阵的秩在解析几何中的应用.5空间两直线的位置关系定理5设两个空间直线：设矩阵的秩为,矩阵的秩在解析几何中的应用矩阵的秩为，则(1)当时，两直线异面;(2)当时，两直线重合;(3)当时，两直线相交;(4)当时，两直线平行.6空间平面与直线之间的位置关系定理6设空间直线和平面的方程分别是设矩阵的秩在解析几何中的应用则有如下结论（1）当，直线和平面相交.特别地，当或时，直线与平面

5、垂直;（2）当，直线和平面平行（3）当，直线在平面上矩阵的秩在解析几何中的应用小结由于矩阵的秩知识面涉及广泛，欲通过一篇论文对其全面研究是困难的.本文只对矩阵的秩有关问题做部分研究，但相信通过本文加深对矩阵的秩及相关问题的理解，以及更好地利用矩阵的秩它来解决一些问题有一定的帮助.谢谢!