同济大学-高等数学-课件-3.9.ppt

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1、第九节定积分的物理应用本节要点定积分的一个重要应用就是在物理上的应用.本节重一、变力沿直线所作的功二、水压力三、引力点讨论定积分在物理学上的应用.主要内容有:一、变力沿直线所作的功从物理学中知道，如果物体在作直线运动的过程中受到常力的作用，并且力作用的方向与位移的方向一致，则当物体移动了距离时，力对物体所作的功为如果物体在运动过程中受到变力的作用，如何求出相应的功？例1把一个带电量为的点电荷放在轴的坐标原点处，它产生一个电场，并对周围的电荷产生作用力。由物理学知道，如果有一个单位正电荷放在这个电场中离原点为的地方，那么电场对它

2、的作用力为处沿移动到处时，求电场力所作的功.（是常数）。当这个单位正电荷从电场从对它所作的功近似于从而功元素为解取为积分变量，在区间中取一小区间当单位电荷从移动到时，电场力于是所求的功为例2内燃机动力的产生可简化为如下的模型：把汽缸看作为一个圆柱形容器，在圆柱形容器中盛有一定的气体，在等温条件下，由于气体的膨胀，把容器中的一个活塞从一点处推移到另一点处，经过一定的机械装置将活塞的这直线运动的动力传播出去，如果活塞的面积为计算活塞从点移到点的过程中气体压力所作的功.与体积的乘积是常数即有因所以于是作用在活塞上的力为解取坐标系如图

3、所示，活塞的位置用坐标来表示，由物理学知道，一定量的气体在等温条件下，压强因而总功为取为积分变量，取小区间，则作功元素为例3一圆柱形蓄水池高5米，底半径为3米，池内盛满了解取为积分变量，取代表性的一个小区间则这一层薄水的重力为将这一层水抽出水池所作的功为水，要把池内的水全部吸出，需作多少功？于是，功为例4一球形储液箱半径为R，并盛满了密度为k的液体，解取为积分变量，取代表性的一个小区间则这一层液体的重力为将这一层液体抽出所作的功为要把储液箱内的液体全部抽出，需作多少功？于是，功为例5用铁锤将一铁钉击入木板，设木板对铁钉的阻力与

4、击入木板的深度成正比。在第一次时，将铁钉击入木板一厘米，如果铁锤每次打击铁钉所作的功相等，问铁钉在第次时将铁钉击入多少？解设木板对铁钉的阻力为木板阻力系数为则由条件得，第一次锤击时所作的功为设第次锤击时所作的功为此时铁钉深度为则由题意，每次锤击时所作的功相等，即有所以第次锤击时击入的深度为解总的作功两部分组成，表示将球提升至球的上端与水面例6一个半径为R，比重的球，沉入深度为H（H>2R）的水池底部，要将此球取出水面，需要作多少功？相齐时需要作的功，它等于克服球重与浮力之差作的功，球重为浮力为球提升的高度为所以表示将球完全提出

5、水面作的功，它等于克服球重与在水中部分的球受到的浮力之差作的功，球重为当球提升了高度时，在水下部分的球的高度为在水下部分的球受到的浮力为漏掉，问起重机每工作一次要克服重力作多少功？例7用一个机械抓斗从30m的深井中挖泥，每次抓斗泥中的泥土重为2000N，抓斗自重400N，缆绳的重量为50N/m，抓斗提升速度为3m/s，提升过程中泥土以20N/s解总的作功由三部分组成，表示克服抓斗自重所作的功，表示克服缆绳重量所作的功，表示将泥土从井底提升至井口所作的功，表示克服抓斗自重所作的功，表示克服缆绳重量所作的功，取小区间缆绳剩余长度为

6、表示将泥土从井底提升至井口所作的功，注意抓斗在提升过程中泥土以20N/s漏掉，由于抓斗提升速度为3m/s，所以抓斗运行时间为10s，取时间为积分变量，在时刻抓斗中泥土重量为在时间段内抓斗提升距离为所以二、水压力侧所受到的水压力.从物理学中知道，水深处的压强为其中是水的比重，为重力。如果有一块面积为的平板水平地置于深度为处，则平板一侧所受的水压力为如果平板并非水平地置于水中，我们来得到此时平板一计算闸门的一侧所受的水压力.处所受到的水的压强近似等于例8某水库的闸门形状为等腰梯形，它的两条底边的长分别为和高为较长的底边与水平面相齐

7、，解建立坐标系如图。取为积分变量，变化范围为在中任取一个小区间而闸门上对应该小区间的窄条各点窄条的宽度近似为因而这一窄条一侧所受到的水压力近似为于是所求的水压力为例9一个横放着的圆柱形水桶，桶内盛有半桶水，设桶的底面半径为求桶的一端面上的水压力.解建立坐标系如图.取为积分变量，取小区间压强为小矩形的宽为则小矩形片所受到的水压力为例10有一个长为a，底宽为b的薄板放入长方体水箱中，取为积分变量，取小区间压强为斜放小矩形的面积为薄板与箱底夹角为（如图），求薄板一侧受到的水压力。建立坐标系如图.解水箱深为则小矩形片所受到的水压力为从

8、而矩形片受到的水压力为例11有一个半径为2m的球放入水中，中心位于水下3m,求球面受到的水压力.解建立坐标系如图.取为积分变量，取小区间压强为位于间的球面面积为压力元素为整个球面受到压力为三、引力由物理学知道，质量分别为相距为的两质点其中为引力系数，引力的方向沿这两质点的连线