最小二乘类系统辨识.doc

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1、系统辨识课程论文授课教师：贺尚红老师最小二乘类辨识方法的比较胡双红（长沙理工大学计算机与通信工程学院，长沙，410076）摘要：本文系统的探讨了三种最小二乘类辨识方法的原理和性能，并对各种方法在各种不同的环境下进行了MATLAB仿真，仿真结果证明：最小二乘法不适合实时处理，在同等情况下，递推最小二乘的辨识速度较快，但在有色噪声干扰下效果不理想，广义最小二乘法的辨识效果最好，且不受噪声是否有色的影响，但是费时最多。1引言系统辨识是一门介于现代控制理论和系统理论的边缘学科．它将现代控制论的平滑、滤波、预测和参数估计理论，以及系统论的系统分

2、析方法和建模思想应用于自然科学、社会科学和工程实践中的各个领域，与各个领域的专业知识相给合，形成了一个个新的交叉学科分支。关于系统辨识的含义，早在1962年Zacleh曾作如下定义：“根据系统的输入和输出，在指定的一类系统中确定一个相被辨识系统等价的系统”。根据这个定义，在系统辨识中必须确定三方面的问题；第一，必须指定一类系统．即根据先验信息确定系统模型的类型。第二，必须规定一类插入信号。例如正弦信号、阶跃信号、脉冲信号、白噪声、伪随机信号等。而且这些信号从时域考虑，必须能持续地激励系统的所有状态；从频域考虑，输入信号的频带能覆盖系统

3、的频带宽度。第三，必须规定“系统等价”的含义及其度量准则。2线性系统的辨识2.1问题描述考虑如下线性系统：（1）其中，u(k)为系统激励信号，y(k)为系统输出，e(k)为模型噪声。其系统模型如图1所示：图1SISO的系统模型结构图其中G(z-1)是系统函数模型，N(z-1)为有色噪声系统模型，e(k)为白噪声v(k)经过系统函数为N(z-1)的系统后的输出。通常第11页共11页系统辨识课程论文授课教师：贺尚红老师（2）式中：（3）（4）则系统可表示为：（5）设样本和参数集为：（6）h(k)为可观测的量，差分方程可写为最小二乘形式（7

4、）如何系统噪声e(k)存在的情况下从该方程中正确的解出，即是系统辨识的任务。为了求出，我们面临三大问题：一是输入信号的选择，二是判决准则的选取，三是辨识算法的选择，下面一一探讨。2.2选择输入为了准确辨识系统参数，我们对输入信号有两大要求，一是信号要能持续的激励系统所有状态，二是信号频带能覆盖系统的频带宽度。除此之外还要求信号有可重复性，不能是不可重复的随机噪声，因此我们通常选择M序列或逆M序列作为输入。2.3准则函数因为本文主要探讨最小二乘类辨识方法，在此选取准则函数（8）使准则函数的估计值记做，称作参数的最小二乘估计值。在式(7)

5、中，令k=1,2,3,……L，可构成线性方程组：（9）式中第11页共11页系统辨识课程论文授课教师：贺尚红老师（10）准则函数相应变为：（11）极小化,求得参数的估计值，将使模型更好的预报系统的输出。2.4辨识算法常用的最小二乘类辨识方法有下列三种：最小二乘法，递推最小二乘法和广义最小二乘法。2.4.1最小二乘法设使得，则有（12）展开上式，并根据以下两个向量微分公式：（13）得正则方程：（14）当为正则阵时，有（15）且有，所以满足式（15）的唯一使得，这种通过极小化式（11）计算的方法称作最小二乘法。而且可以证明，当噪声e(k)是

6、均值为0的高斯白噪声时，可实现无偏估计2.4.2递推最小二乘算法为了减少计算量，减少数据在计算机中占用的内存，并实时辨识出系统动态特性，我们常利用最小二乘法的递推形式。下面我们来推导递推最小二乘算法的原理。第11页共11页系统辨识课程论文授课教师：贺尚红老师首先，将式(11)的最小二乘一次完成算法写为（16）定义（17）式中（18）式中，h(i)是一个列向量，也就是HL的第i行的倒置，P(k)是一个方阵，他的维数取决于未知参数的个数，假设未知参数的个数是n，则P(k)的维数是n×n.。由式17可得P(k)的递推关系为：（19）设（20

7、）则（21）由此可得：（22）由式19和22可得第11页共11页系统辨识课程论文授课教师：贺尚红老师（23）引进增益矩阵K(k)，定义（24）式23可以进一步写为（25）接下来可以进一步把式20写为（26）利用矩阵反演公式将式（26）演变成（27）将上式代入式24，整理后可得(28)综合式25、27和28可得最小二乘递推参数估计算法RLS（29）2.4.3广义最小二乘法设SISO系统采用如下模型：（30）其中A(z-1)，B(z-1)和C(z-1)的定义见式？假定模型阶次na，nb和nc已知，用广义最小二乘法可以得到无偏一致估计。令（

8、31）及第11页共11页系统辨识课程论文授课教师：贺尚红老师（32）将模型化为最小二乘格式：（33）由于v(k)是白噪声，所以用最小二乘可以获得参数θ的无偏估计，由于噪声模型C(z-1)未知，还需要用迭代的方法来求得C(