数学模型 数学论文指导 初等模型分配问题.ppt

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1、初等数学模型问题一：公平的席位分配问题公平的席位分配是人类社会中相当普遍的一类权益分配问题，这个问题来源于美国众议院议员在各州的名额分配问题。席位分配问题某校有200名学生，甲系100名，乙系60名，丙系40名，若学生代表会议设20个席位，问三系各有多少个席位？按惯例分配席位方案，即按人数比例分配原则表示某单位的席位数表示某单位的人数表示总人数表示总席位数1问题的提出20个席位的分配结果系别人数所占比例分配方案席位数甲100100/200(50/100)•20=10乙6060/200(30/100)•20=6丙4040/200(20/100)•20=4现丙系有6名学

2、生分别转到甲、乙系各3名。系别人数所占比例分配方案席位数甲103103/200=51.5%51.5%•20=10.3乙6363/200=31.5%31.5%•20=6.3丙3434/200=17.0%17.0%•20=3.410641064现象1丙系虽少了6人，但席位仍为4个。（不公平！）为了在表决提案时可能出现10：10的平局，再设一个席位。21个席位的分配结果系别人数所占比例分配方案席位数甲103103/200=51.5%51.5%•21=10.815乙6363/200=31.5%31.5%•21=6.615丙3434/200=17.0%17.0%•21=3.5

3、701173现象2总席位增加一席，丙系反而减少一席。（不公平！）惯例分配方法：按比例分配完取整数的名额后，剩下的名额按惯例分给小数部分较大者。存在不公平现象，能否给出更公平的分配席位的方案？2建模分析目标：建立公平的分配方案。反映公平分配的数量指标可用每席位代表的人数来衡量。系别人数席位数每席位代表的人数公平程度甲10310103/10=10.3中乙63663/6=10.5差丙34434/4=8.5好系别人数席位数每席位代表的人数甲10010100/10=10乙60660/6=10丙40440/4=10系别人数席位数每席位代表的人数公平程度甲10311103/11=

4、9.36中乙63763/7=9好丙34334/3=11.33差一般地，单位人数席位数每席位代表的人数AB当席位分配公平但通常不一定相等，席位分配的不公平程度用以下标准来判断。此值越小分配越趋于公平，但这并不是一个好的衡量标准。单位人数p席位数n每席位代表的人数绝对不公平标准A120101212-10=2B1001010C102010102102-100=2D100010100C,D的不公平程度大为改善！2）相对不公平表示每个席位代表的人数，总人数一定时，此值越大，代表的人数就越多，分配的席位就越少。则A吃亏,或对A是不公平的。定义“相对不公平”对A的相对不公平值；同

5、理，可定义对B的相对不公平值为：对B的相对不公平值；建立了衡量分配不公平程度的数量指标制定席位分配方案的原则是使它们的尽可能的小。3建模模型1若A、B两方已占有席位数为用相对不公平值讨论当席位增加1个时，应该给A还是B方。不失一般性，有下面三种情形。情形1说明即使给A单位增加1席，仍对A不公平，所增这一席必须给A单位。情形2说明当对A不公平时，给A单位增加1席，对B又不公平。计算对B的相对不公平值情形3说明当对A不公平时，给B单位增加1席，对A不公平。计算对A的相对不公平值则这一席位给A单位，否则给B单位。结论：当（*）成立时，增加的一个席位应分配给A单位，反之，应

6、分配给B单位。记则增加的一个席位应分配给Q值较大的一方。这样的分配席位的方法称为Q值方法。若A、B两方已占有席位数为4推广有m方分配席位的情况设方人数为，已占有个席位，当总席位增加1席时，计算则1席应分给Q值最大的一方。从开始，即每方至少应得到以1席，（如果有一方1席也分不到，则把它排除在外。）设有k个部门，每个部门的人数分别为,总人数N，待分配的席位为m，理想化的席位分配结果为,记显然，若全为整数时，应有当不全为整数时，需要确定同时满足下列公理的公平分配方案：模型2公理1、，即取，其中，，表示的整数部分。公理2、，即总席位增加时，各个部门的席位数不会减少。公理1显

7、然满足Young公理的公理IV（公平分摊性），公理2显然满足Young公理的公理I（人口单调性）和公理III（名额单调性）设总人数为n，总席位数为m，第个部门的人数为，令称其为对第个部门的绝对不公平值。令称其为对第个部门的相对不公平值，或称为相对尾数。由于人口数是整数，为使分配公平，需所有的越小越好，所以公平的分配方案应该是最大的达到最小，亦即所有的达到最小。为方便起见，首先考虑只有两个部门的情况，并且，和不全是整数（实际上，它们同为整数或小数）。记，即为的小数部分。定理、满足公理1、2的分配方案为：(1)若，且，则取，（即“比例加惯例”的方法）。(2)若，则取