辅助圆：优美的别解.doc

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1、辅助圆：优美的别解江苏省溧水县第一初级中学吕小保2009年河北省中考数学第24题，是一道颇具创意的考题.该题通过旋转、压缩变化，从特殊到一般，由易到难，不仅突出考查了正方形、等腰三角形、直角三角形、中位线定理等几何核心知识和发现问题、研究解决问题的能力，较好地体现了新课程“四基”“两能”目标培养新理念，而且解法多样，特别的是本题有着优美的辅助圆别解.b5E2RGbCAP试卷：在图1<1）至图1<3）中，点B是线段AC的中点，点D是线段CE的中点．四边形BCGF和CDHN都是正方形．AE的中点是M．p1EanqFDPw<1）如图<1），点E在AC的延长线上，点N与点G重合时，点M

2、与点C重合，求证：FM=MH，FM⊥MH；DXDiTa9E3d<2）将图<1）中的CE绕点C顺时针旋转一个锐角，得到图<2），求证：△FMH是等腰直角三角形；E<1）AHC(M>DBFG(N>G<2）AHCDEBFNMAHCDE<3）BFGMN图1<3）将图<2）中的CE缩短到图<3）的情况，△FMH还是等腰直角三角形吗？<不必说明理由）RTCrpUDGiT简解：<1）本小问较为容易，故省略；<2）方法1：如图2，连结MB、MD，设FM与AC交于点P．图2AHCDEBFGNMP∵B、D、M分别是AC、CE、AE的中点，∴MD∥BC，且MD=BC=BF；MB∥CD，且MB=CD=

3、DH．∴四边形BCDM是平行四边形．∴∠CBM =∠CDM．又∵∠FBP =∠HDC，∴∠FBM =∠MDH．∴△FBM ≌ △MDH．∴FM = MH，且∠MFB =∠HMD．∴∠FMH =∠FMD－∠HMD =∠APM－∠MFB =∠FBP = 90°．4/4图3AHCDEBFGNM∴△FMH是等腰直角三角形．方法2：如图3，连结MB、MD.∵B、D、M分别是AC、CE、AE的中点，BC=CD，∴BM=BC=BA=DM=DC=DE.∴以点B、D为圆心，BC、DC为半径的⊙B、⊙D都经过点M.而在⊙B、⊙D中，圆心角∠FBA= 90°，∠HDE= 90°，∴∠FMA == 4

4、5°，∠HME ==45°．∴∠FMH =180°－∠FMA－∠HME = 90°．∵AC=CE，∴∠CAM =∠CEM．又∵∠FAB=∠HED=45°，∴∠CAM +∠FAB=∠CEM+∠HED，即∠FAM =∠HEM．又∵⊙B与⊙D为等圆，∴FM=HM.∴△FMH为等腰直角三角形．<3）是．点评赏析：<1）如何想到构造辅助圆？添加圆的依据又是什么？首先，从问题<证明△FMH是等腰直角三角形）入手.要证∠FMH = 90°，可转化证明∠FMA =∠HME= 45°．5PCzVD7HxA其次，从图形来看，要证明度数为 45°的∠FMA、∠HME分别与已知直角∠FBA、∠HDE之

5、间的位置成圆周角与圆心角的位置关系，因此分别构造以B、D为圆心，∠FMA、∠HME为圆周角的圆.jLBHrnAILg添加圆的依据主要有：依据1：圆的定义——到定点距离等于定长的点的集合是圆.本题中，点A、F、M到点B4/4的距离相等<理由见别解），所以点A、F、M在以点B为圆心，BA为半径的圆上.根据圆周角定理，得∠FMA ==45°.同理，点H、M、E在以点D为圆心，CD为半径的圆上，∠HME ==45°.xHAQX74J0X依据2：直角三角形外接圆的圆心在其斜边的中点处.如图1<2），△ACM 与△CEM都为直角三角形，所以△ACM 与△CEM外接圆的直径分别为AC、CE，

6、圆心分别为点B、D，且⊙B、⊙D分别经过点F、H.LDAYtRyKfE依据3：四点共圆的条件.由∠AMC =∠AFC = 90°、∠CME =∠CHE = 90°，得点A、M、C、F和点C、M、E、H分别共圆，圆心分别为点B、D.Zzz6ZB2Ltk简单地说，添加圆有以下4个步骤：一化、二看、三想、四证.其中，“一化”就是要从问题入手，转化问题；“二看”就是要能从题目的已知条件和图形出发，观察未知元素与已知元素之间的位置关系；“三想”就是要能根据位置关系进行联想，猜想其背后隐藏的特有关系；“四证”就是要有根有据，运用几何知识对猜想进行验证.dvzfvkwMI1<2）用到圆中哪些

7、知识？除了用到上述圆的定义、直角三角形外接圆的圆心位置或四点共圆的条件之外，还用到圆周角定理<一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半）及推论<等圆中，相等的圆周角所对的弦也相等）.rqyn14ZNXI<3）别解有何优美？首先，方法2运用辅助圆，解题思路更清晰、直接，也更好理解，有一种简洁大方之美.从方法1来看，证明∠FMH = 90°尤为繁琐，其中经过了诸多的等角代换<有4次之多），这其中所涉及到的转化方向、技巧和观察分析图形的能力要求都比较高，不要说解题了，就是理解起来都比较困难.而构