几个针对FitzHugh-Nagumo方程的有限差分解法-论文.pdf

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1、第28卷第2期青岛大学学报(自然科学版)Vol_28No．22015年5月JOURNALOFQINGDAOUNIVERSITY(NaturalScienceEdition)May2015文章编号：1006—1037(2015)02—0005—06doi：10．3969／j．issn．1006—1037．2015．05．02几个针对FitzHugh—Nagumo方程的有限差分解法冯洪松，赵维加，林润昶(1．青岛大学数学科学学院，青岛2660712．德克萨斯农工国际大学数学物理系，拉雷多78041—1900，美国)摘要：采用隐式差分格

2、式和Crank—Nicolson格式求解FitzHugh～Nagumo方程。通过对FitzHugh—Nagumo方程的非线性反应项的线性化处理，在两种格式下各自给出了三种算法，并对各种算法的误差和收敛阶进行了分析比较。数值实验验证了算法的有效性。关键词：FitzHugh—Nagumo方程；隐式差分格式；Crank—Nicolson格式；收敛阶中图分类号：0241．82文献标志码：A1研究背景生物体内生物电的传播满足一定的数学规律。Hodgkin与Huxley_1]通过实验提出了在神经轴突内的电流传输模型，即著名的Hodgkin～H

3、uxley模型(HH模型)。该模型由一个非线性的扩散方程及三个常微分方程构成，描述了细胞壁对钠钾离子的传导。Hodgkin—Huxley方程比较复杂。FitzHughl2]提出了相对简单的数学模型，由一个非线性的扩散方程及一个常微分方程组成。Nagumo_3对FitzHugh的模型做了进一步的研究，提出了比较成熟的FitzHugh—Nagumo方程(即FHN模型)。Casten和Rinze等做了进一步的讨论。作为Hodgkins—Huxley方程的一个简化形式，FHN模型保持了HH模型的主要数学性质，是生物神经中电流传输分析的重要

4、数学模型，并在化学、物理、冶金等学科中有着重要的应用。FitzHugh—Nagumo方程如下l一D+(一1)(n一)一fdtdLz。【一一∈R，t>0，DER，aE(0，0．5)，b>0，r>0(1)其中，U是关于空间变量z及时间变量t的函数，具有以下初边值条件的定解问题(z，O)一Uo(-z)，v(x，O)一0．“(‘zL，)一no(z)，“(zR，)一日1()g(“)一u(u一1)(口～)的三个根“一0，口，1分别对应着细胞壁的平衡状态、阀值以及兴奋状态。为引起波的传输，a需要满足aE(O，0．5)。初始条件可以表示u(x，0

5、)一“。()，v(x，o)一0，其分布具有空间局性，即当lzl一。。，Uo(z)一0。对于不同参数，FitzHugh—Nagumo方程解会形成不同的波形，如单波、多波、以及周期波等(Conley，Carpente，Hastings[c)。对FHN方程单波解的存在性l6]Conley和Carpente使用isolatingblock方法、Hasting[使用开集方法进行了证明。Rushton[1蛔引入了极小长度的概念，传导介质需有一个极小长度，初始电势达到一定数值，便能引起波的传导。McKean和Moll提出初始电势在局部的作用，当

6、超过某阀值便能引起波的传输；相反，如果低于阀值，则初始电势将随时间趋于0。Termanl_9提出FHN方程的初始条件能够引起波的传输，只有在b、r足够小，并且初始值超过某阀值才能发生。Neu[1阳引入Criticalnucleus的概念，收稿日期：2015-03—08基金项目：国家自然科学基金(批准号：11072120)资助；美国自然科学基金(批准号：1217268)资助。通讯作者：赵维加，男，博士，教授，研究方向：微分／代数方程数值解。E-mail：zhaoweijia@qdu．edu．cn6青岛大学学报(自然科学版)第28卷系

7、统地提出了波产生的准则。Macias—Diaz[1研究了FitzHugh-Nagumo方程的数值解法，但针对方程特点的高效算法及其理论分析的研究较少。Gordonl1。提出collocation方法和Hopscoth有限差分方法，GourlaylI】3l和McGuirel】对此方法做了深入研究。其他格式，如soliman_】提出variationaliteration和adomiandecomposition方法计算FHN方程的数值解。本文讨论了利用隐式格式及Crank_Nicolson格式对方程组(1)的线性化离散求解，确认该格

8、式在时间和空间方向分别能够达到一阶和二阶精度，并比较分析了不同计算格式的数值效果。2数值方法应用有限差分方法时通常需要把计算范围限定在一个有界的求解区域内。本文中的求解区域限定为足够大的空间区域[，]和时间区域[O，T]。对上述区域作等距网格划分z