抽象函数性质解析专题.doc

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1、抽象函数性质解析专题抽象函数是高中数学的一个难点，也是近几年来高考的热点。考查方法往往基于一般函数，综合考查函数的各种性质。本节给出抽象函数中的函数性质的处理策略，供内同学们参考。抽象函数是指只给出函数的某些性质，而未给出函数具体的解析式及图象的函数。由于抽象函数概念抽象，性质隐而不显，技巧性强，因此学生在做有关抽象函数的题目时，往往感觉无处下手。1、定义域：解决抽象函数的定义域问题——明确定义、等价转换。材料一：若函数的定义域为，求函数的定义域。解析：由的定义域为，知中的，从而，对函数而言，有，解之得：。所以函数的定义域为总结：函数的定义域是指

2、自变量的取值范围，求抽象函数的定义域的关键是括号内式子的地位等同（即同一对应法则后括号内的式子具有相同的取值范围），如本题中的与的范围等同。2、值域：解决抽象函数的值域问题——定义域、对应法则决定。材料二：若函数的值域为，求函数的值域。解析：函数中定义域与对应法则与函数的定义域与对应法则完全相同，故函数的值域也为。函数f(x)的定义域为，对任意正实数x,y都有f(xy)=f(x)+f(y)且f(4)=2，则（）总结：当函数的定义域与对应法则不变时，函数的值域也不会改变。3、解析式（可解性）：由抽象式求解析式问题——视为未知数，构造方程（组）。材料

3、七：设函数满足……①，求。解析：以代，得，……②以代，得，……③①+③-②得：所以总结：在所给的抽象式中紧紧围绕，将其余的式子替换成，构造一个或几个方程，然后设法求解。4、对称性：解决抽象函数的对称问题——定义证明是根本、图象变换是捷径、特值代入是妙法。结论1：设函数f(x)的定义域为R，且f(a+x)=f(b-x)，则函数f(x)的图象关于直线对称；特别地，当f(a+x)=f(a-x)时，f(x)的图象关于x=a对称（自身对称）。结论2：对于定义在R上的函数y=f(x)，函数y=f(a+x)与y=f(b-x)的图象关于直线对称（相互对称）。材料

4、三：设函数定义在实数集上，则函数与的图象关于（）A、直线对称B直线对称C直线对称D直线对称解法一（定义证明）：设点是函数的图象上的任意一点，则，关于直线的对称点为，要使点在函数的图象上，则，应有，故，所以函数与的图象关于直线对称。解法二（图象变换法）：由函数的图象向右平移1个单位得到函数的图象；由函数的图象关于轴对称得到函数的图象，再向右平移1个单位，得到的图象。如图所示，选D。解法三（特值代入法）：由已知可得点在函数的图象上，点在函数的图象上，又点P、Q关于直线对称，选D。总结：了解一些简单结论对解题也是很有好处的。如：函数满足，则函数的自对称

5、轴为；函数与的互对称轴为，即例11、已知函数y=f(x)满足f(x+2)=f(2-x)；若方程f(x)=0有三个不同的实根，则这三个根的和为______。析：由题设条件和结论1可知：y=f(x)关于直线x=2对称，所以方程的根也关于直线x=2对称。方程有三个不同的实根，由必有一根为2，另两根之和为4，故三根之和为6。1、周期性：解决抽象函数的周期性问题——充分理解与运用相关的抽象式是关键。材料四：设是定义在R上的奇函数，其图象关于直线对称。证明是周期函数。证明：由的图象关于直线对称，得，又是定义在R上的奇函数，所以，则由周期函数的定义可知4是它的

6、一个周期。总结：一般地，,均可断定函数的周期为2T。2、奇偶性：解决抽象函数的奇偶性问题——紧扣定义、合理赋值。材料五：已知是定义在R上的不恒为零的函数，且对于任意的，都满足：。判断的奇偶性，并证明你的结论。解析：令，则，得；令，则，得；令，得，得因此函数为奇函数。总结：赋值是解决多变量抽象函数的重要手段。1、单调性：解决抽象函数的单调性问题——紧密结合定义、适当加以配凑。材料六：1设是定义在[-1，1]上的奇函数，且对于任意的，当时，都有：。若，试比较与的大小。解析：，，，又，，即。2、已知函数对任意实数x，y，均有，且当时，，，求在区间[－2

7、，1]上的值域。解：设，则，∵当时，，∴，∵，∴，即，∴为增函数在条件中，令y＝－x，则，再令x＝y＝0，则，∴，故，为奇函数，∴　，又，∴的值域为［－4，2］。3、已知函数f（x）对任意实数x、y均有f（x＋y）＋2＝f（x）＋f（y），且当x>0时，f(x)>2，f(3)＝5，求不等式的解.分析：先证明函数f（x）在R上是增函数（仿2）；再求出f（1）＝3；最后脱去函数符号.总结：本题实质上是证明函数的单调性，有时也用到（或）来判断。抽象函数的单调性，一般不用导数判断。2、凹凸性：解决函数的凹凸性问题——捕捉图象信息，数形结合。材料八：如图所

8、示，是定义在[0，1]上的四个函数，其中满足性质：“对[0，1]中任意的和，任意，恒成立”的只有（）A、B、C、D、解析：令，则不等式变