数值分析课后答案.doc

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1、.第一章绪论一本章的学习要求（1）会求有效数字。（2）会求函数的误差及误差限。（3）能根据要求进行误差分析。二本章应掌握的重点公式（1）绝对误差：设为精确值，为的一个近似值，称为的绝对误差。（2）相对误差：。（3）绝对误差限：。（4）相对误差限：。（5）一元函数的绝对误差限：设一元函数（6）一元函数的相对误差限：。（7）二元函数的绝对误差限：设一元函数（8）二元函数的相对误差限：。..三本章习题解析1.下列各数都是经过四舍五入得到的近似值，（1）试指出它们有几位有效数字，（2）分别估计及的相对误差限。解：（1）有5位有效数字，有2位有效数字，有4位有效数字，有5位

2、有效数字。（2）由题可知：为的近似值，分别为近似值。所以同理有为的近似值，，为，的近似值，代入相对误差限公式：2.正方形的边长大约为100cm，怎样测量才能使其面积误差不超过?解：设正方形的边长为，则面积为，，在这里设为边长的近似值，..为面积的近似值：由题可知：即：推出：。1.测得某房间长约=4.32m，宽约为=3.12m，且长与宽的误差限均为0.01m，试问房间面积S=Ld的误差限和相对误差限分别为多少？解：设则有：，。在这里分别为，，的近似值：相对误差限为：。2.下列公式如何计算才比较准确：(1)当x的绝对值充分小时，计算；（2）当N的绝对值充分大时，计算；

3、（3）当x的绝对值充分大时，计算。解：（1）当时，===（2）当时，===(3)当时，=..=。1.列满足递推关系=10-1，n=1,2,…，若=，计算到时误差有多大？这个计算数值稳定吗？解：已知准确值，近似值，设他们的误差为，则有：==以此类推所以==2.计算，取1.4，直接计算和用来计算，哪一个最好？解：依题意构造函数，则，由绝对误差公式==0.0030723.求二次方程-16x+1=0的较小正根，要求有3位有效数字。解：由求根公式：。所以。，对比可知：较小的根为，由相近数相减原理则有：4.如果利用四位函数表计算，试用不同方法计算并比较结果的误差。解：5.设x

4、的相对误差限为δ，求的相对误差限。解：由题意可知：设，则有在这里设为的近似值，为..的近似值，由已知的相对误差限为。所以：1.已知三角形面积S=absinc,其中c为弧度，满足0c>0.，所以命题成立。..第二章插值法一本章的学习要求（1）会用拉格朗日插值和牛顿插值求低阶插值多项式。（2）会应用插值余项求节点数。（3）会应用均差的性质。二本章应掌握的重点公式（1）线性插值：。（2）抛物插值：。（3）次插值：。

5、（4）拉格朗日插值余项：。（5）牛顿插值公式：。（6）。（7）。（8）牛顿插值余项：。..三本章习题解析1.给定的一系列离散点（1，0），（2，—5），（3，—6），（4，3），试求Lagrange插值多项试。解：设所求插值多项式为，且已知：，代入插值基函数公式：可得：===化简代入得:2.若，求，。解:由，所以:!，.由均差的性质(三)可知:，3.给定函数表012345-7-452665128（1）试用Lagrange插值法求一个三次插值多项式，并由此求的近似值。（2）试用Newton插值公式求一个三次插值多项式，并由此求的近似值。解：(1)，取0.5附近的4个

6、点为宜。故取，，。则，按照习题1求出插值基函数。代入..。可得：，所以：（2）设牛顿插值多项式为，列差商表：一阶插商二阶插商三阶插商0-71-4325933262161所以：=-5.8751.设为互异节点（j=0,1,2,…,n）求证：，=0,1,2,…,其中为次插值基函数。证明：根据题意：设，所以有，结合上式所以有：=，由余项定理可知：，且由定理二可知，当时，所以就有。在这里令变量，所以命题：，成立。2.设且，求证：。证明：由题可知：，，故可构造线性插值多项式即为下式：，记为（1）式，因为，记为（2）式，其中，记为（3）式，..将（1）（3）代入（2）整理：所以

7、：这里取代入，可推出：再放缩得1.若有个不同实零点证明：证明：由题可知：有个不同实零点，故还可以表示成根形式的多项式，即：；由导数的定义可知：=在此设：；，记为（1）式当时，，则（1）变为；当，则（1）式变为0，..综上所述：1.给定函数表-2-10123-5111725已知以上数据取自一个多项式，试确定这个多项式的次数；并求出这个多项式。解：用牛顿法：+，列插商表：一阶插商二阶插商三阶插商四阶插商五阶插商-2-5-116010-311001276310325186100，为三次。2.对函数，及任意常数a,b,证明：。证明：由高等数学的知识，我们构造函数，于是就有

8、下式成立：