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1、参数三次插值样条曲线三次多项式方程是能表示曲线段的端点通过特定点且在连接处保持位置和斜率的连续性的最低阶次的方程。与更高次的多项式方程相比，三次样条只需要较少的计算和存储且较稳定。与低次多项式相比，三次样条在模拟任意曲线形状时更灵活。参数三次插值样条的定义给出一组控制点，Pk=(xk,yk,zk),k=0,1,2……n可得到通过每个点的分段三次多项式曲线：三次插值拟合：常用方法有：均匀参数化(等距参数化)节点在参数轴上呈等距分布，正常数。累加弦长参数化弦线矢量如实反映了型值点按弦长的分布情况，能够克服型值点按弦长分布不均匀的情况下采用均匀参数化所出现的问
2、题。向心参数化法假设在一段曲线弧上的向心力与曲线切矢从该弧段始端至末端的转角成正比，加上一些简化假设，得到向心参数化法。此法尤其适用于非均匀型值点分布。修正弦长参数化法弦长修正系数Ki>=1。修正实际弦长偏短于弧长，减缓切向速度参数区间的规格化通常将参数区间规格化为[0,1]，，只需对参数化区间作如下处理：参数三次样条性质存在唯一性收敛性计算稳定整体性不易控制自然三次样条是首批用于图形应用的样条曲线。是一种插值样条。定义已知n个型值点Pi（i=1,2,…n）且相邻的型值点不重合；若P（t）满足：1.点Pi在函数P（t）上；2.P（t）在整个区间[P1,P
3、n]上二次连续可导；3.在每个子区间[Pi,Pi+1](i=1,2,…n-1)上,Pi(t)都是参数t的三次多项式，而t以相邻型值点间弦长为取值范围。则称P（t）为过型值点的自然三次样条函数。注意：点Pi可以为三维空间中的点。自然三次样条曲线函数表达式（参数曲线）：其中系数向量Bk（k＝1，2，3，4）（每段函数4个，共4（n－1）个）由已知的型值点及连续性条件获得。n个型值点中有n－2个内点，这些内点，每个有四个独立条件：1.该点的值；2.该点两侧的曲线段在该点处有相同的值；3.该点两侧的曲线段在该点处有相同的一阶导数值；4.该点两侧的曲线段在该点处有
4、相同的二阶导数值。因此：内点可提供4（n－2）个独立方程，而两个外点（P1和Pn）可提供2个独立方程，尚需两个边界条件。边界条件：给定点P1和Pn的一阶导数给定点P1和Pn的二阶导数造型中的实际方法，头尾增加两个虚拟点，使所有型值点成为内点（例如采用自然边界条件）。优缺点：优点：三次多项式在使用的灵活性和计算速度上提供一个合理的平衡方案，与高次多项式比较，运算较少且较稳定，与低次多项式比则在曲线拟合上更灵活。缺点：不具有局部控制性，即一点的修改都会导致整条曲线较大的变化。生成步骤：输入型值点坐标P1,P2,…Pn；为P1,Pn加入边界条件，计算各点间的弦
5、长，求出系数向量，从而得到函数具体表达式；每段函数曲线对t从0到Li，合理选择步长值，求出曲线段上的离散点，然后用直线段连接。Hermite三次插值样条边界条件：P(0)=PkP’(0)=DPkP(1)=Pk+1P’(1)=DPk+1向量方程：P(t)=at3+bt2+ct+d,(0≤t≤1)其中P的分量x：x(t)=axt3+bxt2+cxt+dx(0≤t≤1)曲线矩阵方程：P(t)=以0，1代入，求出边界条件[t3t2t1]abcdPkPk+1DPkDPk+1=000111100103210abcd求解多项式系数-211-3-3-2-20010100
6、0PkPk+1DPkDPk+1abcd==PkPk+1DPkDPk+1MH其中：是Hermite矩阵MH则：Hermite矩阵方程为：[t3t2t1]PkPk+1DPkDPk+1MHP(t)=将展开P(t)P(t)Pk(2t3-3t2+1)+Pk+1(-2t3+3t2+1)DPk+1(t3-t2)+DPk(t3-t2+t)+=即：P(t)=PkH0(t)+Pk+1H1(t)+DPkH2(t)+DPk+1H3(t)Cardinal样条由两个相邻控制点坐标计算一个控制点处斜率值给出相邻四个控制点，中间两个是曲线端点，其他点计算端点斜率边界条件：P(0)=Pk
7、P’(0)=(1-t)(Pk+1–Pk-1)/2P(1)=Pk+1P’(1)=(1-t)(Pk+2–Pk)/2t:张量参数，控制样条与输入控制点间的松紧程度向量方程：P(u)=au3+bu2+cu+d,(0≤u≤1)曲线矩阵方程：P(u)=以0，1代入，求出边界条件[u3u2u1]abcdPk-1PkPk+1Pk+2求解多项式系数-t2-tt-2t2tt-33-2t-t-t0t00100Pk-1PkPk+1Pk+2abcd==Pk-1PkPk+1Pk+2Mc其中：是Cardinal矩阵Mc则：Cardinal矩阵方程为：[u3u2u1]McP(u)=Pk
8、-1PkPk+1Pk+2将展开P(u)P(u)Pk-1(-tu3+2tu2-tu
