（新课改地区）2021版高考数学一轮复习第九章平面解析几何9.8.1圆锥曲线中求值与证明问题练习新人教B版.doc

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1、9.8.1圆锥曲线中求值与证明问题核心考点·精准研析考点一　求值问题 1.(2020·西安模拟)已知椭圆、双曲线均是以直角三角形ABC的斜边AC的两端点为焦点的曲线,且都过B点,它们的离心率分别为e1,e2,则+=(　　)A.B.2C.D.32.已知A,B是抛物线y2=2px(p>0)上的两点,直线AB垂直于x轴,F为抛物线的焦点,射线BF交抛物线的准线于点C,且

2、AB

3、=

4、AF

5、,△AFC的面积为2+2,则p的值为(　　)A.　B.1C.2D.43.(2019·天津高考)设椭圆+=1(a>b>0)的左焦点为F,上顶点为B.已知椭圆的短轴长为4,离心率为.(1)求椭圆的方程

6、.(2)设点P在椭圆上,且异于椭圆的上、下顶点,点M为直线PB与x轴的交点,点N在y轴的负半轴上.若

7、ON

8、=

9、OF

10、(O为原点),且OP⊥MN,求直线PB的斜率.【解析】1.选B.如图,由题意,设椭圆的长半轴为a1,双曲线的半实轴为a2,根据椭圆和双曲线定义:

11、AB

12、+

13、BC

14、=2a1,13

15、BC

16、-

17、AB

18、=2a2,可得

19、BC

20、=a1+a2,

21、AB

22、=a1-a2,设AC=2c,在直角三角形ABC中,由勾股定理可得,4c2=(a1-a2)2+(a1+a2)2,即+=2c2,即+=2.2.选C.过点A作AH垂直于准线,垂足为H,作CG垂直于AB,垂足为G,根据抛物线的定义

23、

24、AH

25、=

26、AF

27、,CE∥AB,因此

28、DE

29、=

30、AH

31、=

32、CG

33、=

34、AF

35、,由S△AFC=S△ABC-S△AFB,S△ABC=

36、AB

37、·

38、CG

39、=

40、AD

41、·

42、CG

43、,S△AFB=

44、AB

45、·

46、DF

47、=

48、AD

49、·

50、DF

51、,得S△AFC=

52、AD

53、·

54、CG

55、-

56、AD

57、·

58、DF

59、=

60、AD

61、(

62、CG

63、-

64、DF

65、),=

66、AD

67、(

68、DE

69、-

70、DF

71、)=

72、AD

73、·

74、EF

75、,又

76、DE

77、=

78、AF

79、=

80、DF

81、,则

82、EF

83、=(-1)

84、DF

85、,

86、AD

87、=2

88、DF

89、==

90、EF

91、,可得S△AFC=

92、EF

93、2,又因为S△AFC=2+2,所以

94、EF

95、=2,因为EF正好是焦点到准线的距离,即p=2.3.(1)设椭

96、圆的半焦距为c,依题意,2b=4,=,又a2=b2+c2,可得a=,b=2,c=1.所以,椭圆的方程为+=1.(2)由题意,设P(xP,yP)(xP≠0),M(xM,0).13设直线PB的斜率为k(k≠0),又B(0,2),则直线PB的方程为y=kx+2,与椭圆方程联立整理得(4+5k2)x2+20kx=0,可得xP=-,代入y=kx+2得yP=,进而直线OP的斜率=.在y=kx+2中,令y=0,得xM=-.由题意得N(0,-1),所以直线MN的斜率为-.由OP⊥MN,得·=-1,化简得k2=,从而k=±.所以直线PB的斜率为或-.1.直线与圆锥曲线相交时的弦长问题(1)斜

97、率为k的直线与圆锥曲线交于两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),则所得弦长:

98、P1P2

99、=

100、x1-x2

101、=13==

102、y1-y2

103、.(2)斜率不存在时,可求出交点坐标,直接求解(利用两点间距离公式).2.平面图形面积的求解,首先根据题意确定平面图形的形状,然后确定其面积的表达式,求出相关的度量——弦长、距离等,最后代入公式求解即可.3.条件求值,主要是将已知条件坐标化,列出对应的方程,通过解方程(组)求值.秒杀绝招　题1中可以利用赋值法简化求解过程,减少计算量.不妨设直角三角形ABC三边长度分别为3,4,5.则椭圆与双曲线的焦距2c=5,则在椭圆中,2a1=3+4=7,

104、故e1=;在双曲线中,2a2=

105、3-4

106、=1,故e1=5.所以+=+=2.考点二　证明问题 命题精解读考什么:(1)圆锥曲线中的证明问题,主要有两类:一是证明点、直线、曲线等几何元素中的位置关系,如某点在某直线上、某直线经过某个点、某两条直线平行或垂直等;二是证明直线与圆锥曲线中的一些数量关系(相等或不等).(2)考查数学运算与逻辑推理的核心素养以及函数与方程、转化与化归的数学思想方法等.怎么考:以直线和圆锥曲线的位置关系为背景,考查角度与长度关系的证明,直线平行、垂直、三点共线等位置关系的证明等.新趋势:等量关系的证明与三角函数等知识的结合,如证明角度相等.学霸好方法1.

107、解决证明问题时,主要根据直线、圆锥曲线的性质、直线与圆锥曲线的位置关系等,通过相关的性质应用、代数式的恒等变形以及必要的数值计算等直接进行证明.2.交汇问题数量关系的问题,多与其他模块知识相结合,如三角函数、向量以及函数相关知识等.证明数量关系13【典例】(2019·北京模拟)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的一个焦点为F(1,0),离心率为.A为椭圆C的左顶点,P,Q为椭圆C上异于A的两个动点,直线AP,AQ与直线l:x=4分别交于M,N两点.(1)求椭圆C的方程.(2)若△PAF与△PMF的面积之比为,求M的坐