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《（新课改地区）2021版高考数学一轮复习第九章平面解析几何9.9.1圆锥曲线中的定值与定点问题练习新人教B版.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、9.9.1圆锥曲线中的定值与定点问题核心考点·精准研析考点一 直线过定点问题 【典例】(2020·郑州模拟)已知O(0,0)和K(0,2)是平面直角坐标系中两个定点,过动点M(x,y)的直线MO和MK的斜率分别为k1,k2,且k1·k2=-.(1)求动点M(x,y)的轨迹C的方程.(2)过点K作相互垂直的两条直线与轨迹C交于A,B两点,求证:直线AB过定点.【解题导思】序号联想解题(1)利用两点坐标表示出直线OM,MK的斜率,即可得到动点坐标所满足的条件(注意斜率存在的条件)(2)根据点K的位置,确定过点K相互垂直的两直线斜率是否存在;若两直线斜率存在,则斜率互
2、为负倒数.建立A,B两点坐标之间的关系,求出直线方程所满足的条件,进而确定定点.【解析】(1)由题意,知k1·k2=-,得·=-,整理得x2+y(y-2)=0,故C的方程为+(y-1)2=1(x≠0).(也可以写作x2+2y2-4y=0).(2)显然两条过点K的直线斜率都存在,设过点K的直线方程为y=kx+2,联立解得x=,y=,设直线AB的方程为:Ax+By+C=0,将x=,y=14代入得++C=0整理得:2Ck2-4Ak+2B+C=0,由于两直线垂直,斜率乘积为-1,根据根与系数的关系=-1,即2B+3C=0,故直线AB过定点. 圆锥曲线中定点问题的两种解法
3、(1)引进参数法:引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量,再研究变化的量与参数何时没有关系,找到定点.(2)特殊到一般法,根据动点或动线的特殊情况探索出定点,再证明该定点与变量无关.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,F1,F2分别为其左、右焦点,P为椭圆C上一点,且△F1PF2的周长为4+2.(1)求椭圆C的方程.(2)过点A(4,0)作关于x轴对称的两条不同的直线l1,l2,若直线l1交椭圆C于一点M(x1,y1),直线l2交椭圆C于一点N(x2,y2),x1≠x2,证明:直线MN过定点.【解析】(1)根据椭圆的离心率为,及△F1PF2的周长为4
4、+2,可得解得所以椭圆C的方程为+y2=1.(2)设直线MN的方程为x=ny+m.14联立方程组,整理得y2+2nmy+m2-4=0,所以y1+y2=,y1y2=.因为关于x轴对称的两条不同直线l1,l2的斜率之和为0,所以+=0,即+=0,所以2ny1y2+m-4=0,所以-+=0,所以m=1.所以直线MN方程为x=ny+1,所以直线MN过定点.考点二 圆过定点问题 【典例】(2020·咸阳模拟)已知A(-2,0),B(2,0),点C是动点且直线AC和直线BC的斜率之积为-.(1)求动点C的轨迹方程.(2)设直线l与(1)中轨迹相切于点P,与直线x=4相交于点
5、Q,判断以PQ为直径的圆是否过x轴上一定点.【解题导思】序号联想解题(1)两直线的斜率存在,故动点C与A,B两点横坐标不相等;利用点的坐标表示出斜率,构造等式关系.(2)直线和曲线相切,可利用判别式建立直线方程中的参数之间的关系,代入方程求出点Q的坐标,转化为两个向量垂直,进而坐标化处理14【解析】(1)设C(x,y).由题意得kAC·kBC=·=-(y≠0).整理,得+=1(y≠0).故动点C的轨迹方程为+=1(y≠0).(2)方法一:易知直线l的斜率存在,设直线l:y=kx+m.联立得方程组消去y并整理,得(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0.依题
6、意得Δ=(8km)2-4(3+4k2)(4m2-12)=0,即3+4k2=m2.设x1,x2为方程(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0的两个根,则x1+x2=,所以x1=x2=.所以P,即P.又Q(4,4k+m),设R(t,0)为以PQ为直径的圆上一点,则由·=0,得·(4-t,4k+m)=0.整理,得(t-1)+t2-4t+3=0.由的任意性,得t-1=0且t2-4t+3=0,解得t=1.综上可知以PQ为直径的圆过x轴上一定点(1,0).14方法二:设P(x0,y0),则曲线C在点P处的切线PQ:+=1.令x=4,得Q.设R(t,0)为以PQ为直径的
7、圆上一点,则由·=0,得(x0-t)·(4-t)+3-3x0=0,即x0(1-t)+t2-4t+3=0.由x0的任意性,得1-t=0且t2-4t+3=0,解得t=1.综上可知,以PQ为直径的圆过x轴上一定点(1,0).圆过定点,可依据直径所对圆周角为直角直接转化为两条线段的垂直,进而转化为两个向量垂直,即两向量的数量积等于0,从而建立方程求解定点的坐标.(2019·济南模拟)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的右顶点为A,左焦点为F1,离心率e=,过点A的直线与椭圆交于另一个点B,且点B在x轴上的射影恰好为点F1,若=3+.(1)求椭圆C的标准方程.(2)过圆E:
8、x2+y2=4上任意一点
