椭圆单侧问题的边界元计算方法.pdf

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1、2003年10月重庆大学学报Oct.2003第26卷第10期JournaIofChonggingUniversityVoI.26No.10文章编号：1000-582X（2003）10-0027-04*椭圆单侧问题的边界元计算方法张凯，祝家麟，张洁（重庆大学数理学院，重庆400044）摘要：单侧问题是一类重要的数学物理问题，它可以转化为互补问题进行求解。由于单侧问题的互补条件位于边界之上，特别适用于边界元法。基于Aitchison提出的关于LapIace算子的开关算法，笔者将之拓广到一般的椭圆型算子，

2、并基于边界元方法应用开关算法，对这一问题给出了简单高效的计算方法，并进行了算法的收敛性分析，最后给出了相应的数值算例。此种算法的优点在于只须在原有的边界元程序中，做少量的改进，并且迭代效率极高，产生的计算误差很小。结果表明，算法简明高效。关键词：边界元；椭圆算子；开关算法；单侧问题中图分类号：O343文献标识码：A在诸多类型的数学物理问题中，单侧问题是一类将以LapIace算子为例来研究，即Possion问题的单侧典型而又重要的问题，研究这类问题具有很强的代表问题（P1）。意义。这类问题来源于许多工

3、程实际问题，比如：流体-!U=（6x），a.e.in"力学中的半渗透壁问题、水坝的渗流问题、固体力学中6UU=（1x），=w（x）6"D的经典接触问题以及电镀问题等，具有很广泛的应用6I6"N背景。在20世纪70、80年代J.L.Lions、GIowinski等6U（P1）U2（fx），2g（x），a.e.on6"S（1）人将单侧问题归化为变分不等式问题［1，2］，并用有限6I元方法进行求解，此种方法需要在问题的求解区域内（U-f）(6U-g)=0，a.e.on6"S6I做大量的网格剖分，而且需要很

4、多的迭代步数。90年2"是R中的一有界区域，6"=6"DU6"SU6"N为代H.Han等人则是把单侧问题中的Signorini类问题［3］"的边界。归化为边界变分不等式用边界元方法求解，这样可以避免区域的网格剖分，而在区域边界上进行少量的剖分，但此种方法要涉及到大量的奇异与超奇异积分的计算，同时还要进行大量的迭代。笔者不通过采用边界元法求解变分不等式的途径，而直接用基于开关［4］算法的边界元方法求解单侧问题。这种方法迭代步数少，更简单、高效、快速，并可应用于一般椭圆型单假定6"充分光滑。侧问题的求解

5、。问题（P1）是非线性问题，这一类问题通常由工程中的电镀模型、温度控制模型抽象得出。其边界条件都1研究的问题不是由一般的等式关系给出的，因而一般的求解非线［3］考虑椭圆算子方程：性问题的方法是不适用的。Aitchison提出的开关算L（U）=f法很巧妙的解决了这一类问题。开关算法的每一迭代66步都是一个临时的线性问题，相对于本文研究的椭圆其中L=!+a（x，y）+（6x，y）+（cx，y），a（x，6x6y单侧问题，则每一步都是一个给定通量值与位势值的y），（6x，y），（cx，y）为系数，f为自由

6、项。为简化起见，双侧问题。而边界元方法求解双侧问题是一种简便而*收稿日期：2003-04-05基金项目：香港理工大学向量极值优化小组基金资助项目作者简介：张凯（1979-），男，山东人，重庆大学助教，计算数学硕士，主要从事计算数学、计算力学的研究。28重庆大学学报2003年又高效的计算方法。正是基于此，笔者给出了椭圆单侧上只有一个法向，这利于实现这一过程，为此采用常单［5］问题的基于开关算法的边界元计算方法。元的边界元法。具体算法如下：2基于开关算法的边界元计算方法l）进行边界离散，得#H；2.l（

7、Pl）的开关算法2）进行边界函数（1x），w（x）与（fx），g（x）的［4］离散；根据Aitchison提出的关于iapiace问题的开关K算法进行修正，得出了椭圆单侧问题的开关算法，具体3）置K=0，并置边界条件为Dirichiet条件U=K实施过程为：6U（fx），视为未知量；l）先置6!的边界条件为Drichiet条件UK=6IS6U4）对边界节点进行边界条件的赋值，并建立节点（fx），视为未知量，将单侧问题变为如下普通双侧6I信息；问题（P2）；5）以边界节点为配置点建立积分方程组；-"U

8、=（bx），a.e.in!6）以边界元展式建立线性方程组；0P2UI#l=U0，on#l7）求解线性方程组，得边界值U0与6U；6U6I=g，on#2K6I6U#28）检验是否满足2g：KK6I6U6U2）求出（P2）的解，得到；检验是否满足2K6I6I若6U2g，则UK为所求解，停止迭代，转ll；否则6Ig：KKK6U6U若满足，则UK为所求解；否则，将6U