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《吉林大学概率与统计第45章课件.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第四章随机变量的数字特征随机变量的概率分布反映了随机变量的统计规律性，但是在实际问题中，要确定一个随机变量的分布不是一件容易的事情．在许多情况下，并不需要求出随机变量的分布，只须知道从不同角度反映随机变量取值特征的若干个数字就够了，这些数字就称为随机变量的数字特征．本章将讨论随机变量的数学期望、方差、矩以及相关系数，它们在概率论与数理统计中起着重要的作用．第一节数学期望一、离散型随机变量的数学期望例1一台机床加工某种零件，已知它加工出优质品、合格品和废品的概率依次为0.2、0.7和0.1．如果出售优质品和合格品，每一个零件可分别获利0.40元和0.20元；如果加工出一件废品则要损失0.10元．
2、问这台机床每加工出一个零件，平均可获利多少元？解以X表示加工出一个零件所获得的利润，则X的分布律为X－0.100.200.40Y0.10.70.2现假设该机床加工个零件，其中废品件，合格品件，优质品件，这里.则这个零件可以获得总利润为，平均每个零件可获利为.其中，和分别是事件、和出现的频率．当很大时，，和分别接近于0.1、0.7和0.2，于是可以期望该机床加工出的每一个零件所获得的平均利润为（元）上述结果称为随机变量X的数学期望．定义1设离散型随机变量X的分布律为则称（要求此级数绝对收敛）（1）为X的数学期望(或均值)．例2设X服从参数为p的(0－1)分布，求X的数学期望．解X的分布律为X01
3、P1－pp.例3设，求．解X的分布律为例4设，求．解例5已知10件产品中有2件次品，求任意取3件中次品数的数学期望．解以X表示任取3件中次品的个数，可取值为0,1,2，其分布律为因此.二、连续型随机变量的数学期望例6设X在[a,b]上服从均匀分布，求E(X)．解X的概率密度为.例7设X服从参数为的指数分布，求E(X)．定义2设连续型随机变量X的概率密度为f(x),则称（要求此积分绝对收敛)为X的数学期望(或均值)．(2)解X的概率密度为例8设，求．解三、随机变量的函数的数学期望例9设X的分布律为X－2－101/21P1/61/31/41/121/6求、．定理1设随机变量Y是随机变量X的函数:Y
4、=g(X);（1）若X为离散型,且分布律为则.（2）若X为连续型，其密度为f(x)，则．(3)(4)解.例10设，求．解.例11设X在区间(0,a)上服从均匀分布，求的数学期望．解X的密度为则.例12设X的概率密度为，求、．解例13设(X,Y)的联合密度为求E(X)、E(XY)．定理2设随机变量Z是X、Y的函数Z=g(X,Y)；（1）若(X,Y)为二维连续型随机变量，联合密度为f(x,y)，则.（2）若(X,Y)为二维离散型随机变量，联合分布律为．则（5）解.四、数学期望的性质（设、存在）性质1设C为常数，则有E(C)=C．性质2．性质3．证只对连续型随机变量的情形来证明,离散型的证明从略．设
5、(X,Y)的概率密度为f(x,y)，则有性质4若X、Y相互独立，则E(XY)=E(X)E(Y)．证只对连续型加以证明．设(X,Y)的联合密度为f(x,y),关于X、Y的边缘密度分别为fX(x)、fY(y).则有f(x,y)=fX(x)fY(y)，于是例14设X与Y独立，求．思考题是否任何一个随机变量都存在数学期望？请研究随机变量X，其概率密度为解第二节方差一、方差的定义定义3D(X)=E{[X－E(X)]2}(6)称为随机变量X的方差．称为X的均方差或标准差．二、方差的计算公式1．设X为离散型随机变量，分布律为则.(7)2．设X为连续型随机变量，概率密度为f(x),则.（8）3．．（9）证明如
6、下例1设X服从参数为p的(0－1)分布，求D(X)．X01p1－pp解E(X)=p,例2设，求D(X)．解，．.例3设X在[a,b]上服从均匀分布，求D(X)．解,例4设X服从参数为的指数分布，求D(X)．解，．例5设，求D(X)．解,..三、方差的性质性质1设C为常数，则D(C)=0．证．性质2.证.性质3设X与Y相互独立，则有.证例6设，求．解设服从参数为p的分布，且相互独立，则．于是.例7设X与Y相互独立，，，求．解.例8设E(X)、D(X)均存在，且D(X)＞0，，求、．解.称为X的标准化随机变量．例9设相互独立，并且具有相同的期望与方差，，求、、．解...（11）为X与Y的相关系数或
7、标准协方差．称.（12）.性质1．．（a,b为常数）．性质2，．性质3若X与Y相互独立，则．定义4称为X与Y的协方差，记作．（10）第三节协方差与相关系数例1设二维随机变量(X,Y)的概率分布为Y－101X－11/81/81/801/801/811/81/81/8证明X与Y不相关，但X与Y不相互独立．证(X,Y)关于X和Y的边缘分布为X－101P3/82/83/8性质4的充分必要条件是：存在常数a
