同心球间流动三模类Lorenz系统的动力学行为及数值仿真.pdf

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1、2014年2月纯粹数学与应用数学Feb．2014第30卷第1期PureandAppliedMathematicsVl01．30No．1同心球间流动三模类Lorenz系统的动力学行为及数值仿真王贺元，高焱2(1．辽宁工业大学理学院，辽宁锦州121001；2．辽宁石化职业技术学院，辽宁锦州121001)摘要：讨论了同心球间旋转流动的类Lorenz型方程组的动力学行为及其数值模拟问题，求出了该方程组平衡点，并对其稳定性进行了分析，证明了该方程组吸引子的存在性，对类Lorenz方程组的动力学行为进行了数值模拟，数值试验

2、表明此类Lorenz型方程组存在极限环和奇怪吸引子．关键词：Navier—Stokes方程：球Couette流：Lorenz系统中图分类号：O357．1；O241．82文献标识码：A文章编号：1008—5513(2014)01—0007—07DoI：10．3969／J．issn．1008—5513．2014．01．0021引言两个同心旋转球之间的流动简称为球Couette流动，作为一个简单的模型，研究它能够为揭示流动失稳转捩至湍流这一重大理论课题的规律提供线索．由于球Couette流动更象全球大气流动，研究它也

3、能成为研究大气物理提供一个粗略的模型，并提供一些理论指导．因此，球Couette流动的研究有很大的理论价值，长期以来它一直是人们普遍关注的热点问题，相关文献非常丰富【l-71．文献[2—3】通过实验发现，在低Reynolds数下的球Couette流是轴对称和关于赤道反射对称的，当内外球之间的间隙叩介于(0．12，0．24)时(这里的间隙是指：通过无量纲化而使内球半径化为1后，内外球之间的距离)，球Couette流在子午面上存在三种形式，即0一涡，1一涡和2一涡．文献[4-5]利用拟谱方法和配置法验证了前面的实验

4、结果．文献[6]的实验首次验证了球Couette并不是叩和Reynolds的唯一函数，流动的最终的平衡状态还依赖于流动的过去状态，特别是在趋向最终状态时的内球加速度．文献『2—3，61中发现存在一个临界Reynolds数Rec，当ReRec时才会出现Taylor涡，文献[7】进一步利用各种方法，如具有差分，拟谱或配置法的弧长连续算法分别得到：当叩=0．18时，Rec】：645土0．05，Rec2=740士0．05，即当Re

5、—09~20．基金项目：辽宁省教育厅科研基金(L2013248)；锦州市科技专项基金(13AID32)．作者简介：王贺元(1963一)，博士，教授，研究方向：非线性系统分歧混沌理论及其数值分析8纯粹数学与应用数学第30卷时，出现1-Taylor涡，而当Re>Rec时，出现2-Taylor涡，如图1所示．综上可以看出，对两同心旋转球间流动的研究一直还停留在实验和数值模拟上，由于该问题虽是轴对称的，但它毕竟还是一个三维问题，而且在球坐标系下的Navier—Stokes方程非常复杂，所以理论上探讨同心旋转球间流动的N

6、avier—Stokes方程解的存在，唯一及正则性等问题极为困难．)))，●●●，、●llRe-645图1Couette流文献[1]对同心旋转球间流动的Navier—Stokes方程谱展开后进行三模态截断，得到一个，类似于Lorenz系统[8-9]的类Lorenz方程组，讨论了这个类Lorenz方程组的静态分叉问题，给出其奇异点存在的条件，并计算出了解分支．本文选取不同的截断模式，获得一个新三模类Lorenz方程组，给出该方程组平衡点及其稳定性的讨论，证明了该方程组吸引子的存在性，数值模拟了雷诺数在一定范围内变

7、化时类Lorenz方程组的动力学行为．2三模类Lorenz型方程组的平衡点及其稳定性分析为获得流体系统的动力学行为，对其进行低模分析是非常有意义的．作为较早发现的混沌模型Lorenz系统只包含三个模态，但它的形式简单，内容丰富，不仅开辟了数学上一些振奋人心的新领域，而且还与湍流现象密切相关．由于它是非线性的，纯粹分析还是困难的，许多结果是通过数值分析在计算机上算出来的．对两球间的旋转流动，也存在类似于Lorenz方程组的典型方程组，即在谱展开式中，取少数几个主要模式(基函数)，得到一个类Lorenz型方程组，进

8、而讨论其平衡点的稳定性、吸引子的存在性、分歧、混沌等非线性现象．本文选取如下截断模式：其中u(41)，2，1，1，1均为球间隙区域Stokes算子的特征函数，把Navier—Stokes方程化成流，函数一涡度的形式，以球间隙区域Stokes算子的特征函数作为基函数构造有限维特征子空间，运用特征谱方法【1]经大量运算得到如下三模类Lorenz型方程组：，(2．1)第1期王贺元等：同心球间