欢迎来到天天文库
浏览记录
ID:58322957
大小:283.36 KB
页数:10页
时间:2020-09-11
《三角形重心、外心、垂心、内心的向量表示及其性质.pdf》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新资料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯向量的重心、垂心、内心、外心、旁心三角形重心、内心、垂心、外心的概念及简单的三角形形状判断方法。重心:ABC中、每条边上所对应的中线的交点;垂心:ABC中、每条边上所对应的垂线上的交点;内心:ABC中、每个角的角平分线的交点(内切圆的圆心);外心:ABC中、每条边上所对应的中垂线的交点(外接圆的圆心)。一、重心1、O是ABC的重心OAOBOC01若O是ABC的重心,则BOCAOCAOBABC故OAOBOC0,31PG(PAPBPC)G为ABC的重心.
2、312、P是△ABC所在平面内任一点.G是△ABC的重心PG(PAPBPC).3证明:PGPAAGPBBGPCCG3PG(AGBGCG)(PAPBPC)∵G是△ABC的重心∴GAGBGC0AGBGCG0,即3PGPAPBPC1由此可得PG(PAPBPC).(反之亦然(证略))33、已知O是平面上一定点,A,B,C是平面上不共线的三个点,动点P满足OPOA(ABAC),(0,),则P的轨迹一定通过△ABC的重心.例1若O为ABC内一点,OAOBOC0,则O是ABC的()A.内心B.外心C.垂心D.重心1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
3、⋯最新资料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯二、垂心1、O是ABC的垂心OAOBOBOCOAOC若O是ABC(非直角三角形)的垂心,则故tanAOAtanBOBtanCOC02、H是面内任一点,HAHBHBHCHCHA点H是△ABC的垂心.由HAHBHBHCHB(HCHA)0HBAC0HBAC,同理HCAB,HABC.故H是ABC的垂心.(反之亦然(证略))3、P是△ABC所在平面上一点,若PAPBPBPCPCPA,则P是△ABC的垂心.由PAPBPBPC,得PB(PAPC)0,即PBCA0,所以PB⊥CA.同理可证PC⊥AB,PA⊥B
4、C.∴P是△ABC的垂心.如图1.ACEMCHPBPBAF图1O图⑷4、已知O是平面上一定点,A,B,C是平面上不共线的三个点,动点P满足ABACOPOA,(0,),则动点P的轨迹一定通过ABcosBACcosC△ABC的垂心.例2P是△ABC所在平面上一点,若PAPBPBPCPCPA,则P是△ABC的()A.外心B.内心C.重心D.垂心2⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新资料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯三、内心1、O是ABC的内心的充要条件是ABACBABCCACBOAOBOC0ABACBABCCACBAe1e2
5、CB引进单位向量,使条件变得更简洁。P如果记AB,BC,CA的单位向量为e1,e2,e3,则刚才O是ABC的内心的充要条件可以写成OAe1e3OBe1e2OCe2e302、O是ABC的内心的充要条件也可以是aOAbOBcOC0。3、若O是ABC的内心,则SBOC:SAOC:SAOBa:b:c故aOAbOBcOC0或者sinAOAsinBOBsinCOC0;4、已知I为△ABC所在平面上的一点,且ABc,ACb,BCa.若aIAbIBcIC0,则I是△ABC的内心.∵IBIAAB,ICIAAC,则由题意得(abc)IAbABcAC0,ABACB∵
6、bABcACACABABACACAB,ABACabcABACc∴AI.IabcABACACbABAC∵与分别为AB和AC方向上的单位向量,ABAC∴AI与∠BAC平分线共线,即AI平分BAC.同理可证:BI平分ABC,CI平分ACB.从而I是△ABC的内心,如图。5、已知O是平面上一定点,A,B,C是平面上不共线的三个点,动点P满足3⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新资料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ABACOPOA,(0,),则动点P的轨迹一定通过△ABC的内ABACC心.OABAC由题意得AP,PABACBA∴当
7、(0,)时,AP表示BAC的平分线所在直线方向的向量,故动点P的轨迹一定通过△ABC的内心,如图。例3O平面上的一定点,A,B,C是平面上不共线的三个点,动点P满足ABACOPOA(),0,则P点的轨迹一定通过ABC的()ABAC(A)外心(B)内心(C)重心(D)垂心四、外心1、O是ABC的外心OAOBOC,若O是ABC的外心则SBOC:SAOC:SAOBsinBOC:sinAOC:sinAOBsin2A:sin2B:sin2C故sinAOAsinBOBsinCOC0。2222、已知O是△ABC所在平面上一点,若OAOBOC,则O是△ABC的
8、外心.222222若OAOBOC,则OAOBOC,∴OAOBOC,则O是△ABC的外心,如图1。CBPBMA图2图1OOAC4⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
此文档下载收益归作者所有