三角形重心、外心、垂心、内心地向量表示及其性质

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1、实用文案三角形“四心”向量形式的充要条件应用知识点总结1．O是的重心;若O是的重心，则故;为的重心.2．O是的垂心;若O是(非直角三角形)的垂心，则故3．O是的外心(或)若O是的外心则故4．O是内心的充要条件是引进单位向量，使条件变得更简洁。如果记的单位向量为，则刚才O是内心的充要条件可以写成　，O是内心的充要条件也可以是。若O是的内心，则　ACBCCP故　;是的内心;向量所在直线过的内心(是的角平分线所在直线)；范例(一)将平面向量与三角形内心结合考查例1．O是平面上的一定点，A,B,C是平面上不共线的三个点，动点P满足，则P点的轨迹一定通过的（）（A

2、）外心（B）内心（C）重心（D）垂心标准文档实用文案解析：因为是向量的单位向量设与方向上的单位向量分别为，又，则原式可化为，由菱形的基本性质知AP平分，那么在中，AP平分，则知选B.(二)将平面向量与三角形垂心结合考查“垂心定理”例2．H是△ABC所在平面内任一点，点H是△ABC的垂心.由,同理，.故H是△ABC的垂心.（反之亦然（证略））例3.(湖南)P是△ABC所在平面上一点，若，则P是△ABC的（D　）A．外心　B．内心　C．重心　D．垂心解析:由.即则所以P为的垂心.故选D.(三)将平面向量与三角形重心结合考查“重心定理”例4．G是△ABC所在平

3、面内一点，=0点G是△ABC的重心.证明作图如右，图中连结BE和CE，则CE=GB，BE=GCBGCE为平行四边形D是BC的中点，AD为BC边上的中线.将代入=0，得=0，故G是△ABC的重心.（反之亦然（证略））例5．P是△ABC所在平面内任一点.G是△ABC的重心.证明∵G是△ABC的重心∴=0=0，即由此可得.（反之亦然（证略））例6若为内一点，，则是的（    ）A．内心          B．外心       C．垂心         D．重心标准文档实用文案解析：由得，如图以OB、OC为相邻两边构作平行四边形，则，由平行四边形性质知，，同理可

4、证其它两边上的这个性质，所以是重心，选D。(四)将平面向量与三角形外心结合考查例7若为内一点，，则是的（    ）A．内心          B．外心       C．垂心         D．重心解析：由向量模的定义知到的三顶点距离相等。故是的外心 ，选B。(五)将平面向量与三角形四心结合考查例8．已知向量，，满足条件++=0，

5、

6、=

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8、=

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10、=1，求证△P1P2P3是正三角形.（《数学》第一册（下），复习参考题五B组第6题）证明由已知+=-，两边平方得·=，同理·=·=，∴

11、

12、=

13、

14、=

15、

16、=，从而△P1P2P3是正三角形.反之，若点O是正三角形△P1

17、P2P3的中心，则显然有++=0且

18、

19、=

20、

21、=

22、

23、.即O是△ABC所在平面内一点，++=0且

24、

25、=

26、

27、=

28、

29、点O是正△P1P2P3的中心.例9．在△ABC中，已知Q、G、H分别是三角形的外心、重心、垂心。求证：Q、G、H三点共线，且QG:GH=1:2。【证明】：以A为原点，AB所在的直线为x轴，建立如图所示的直角坐标系。设A(0,0)、B（x1,0）、C(x2,y2)，D、E、F分别为AB、BC、AC的中点，则有：由题设可设,AB(x1,0)C(x2,y2)yxHQGDEF标准文档实用文案即，故Q、G、H三点共线，且QG：GH=1：2例10．若O、H分

30、别是△ABC的外心和垂心.求证.证明若△ABC的垂心为H，外心为O，如图.连BO并延长交外接圆于D，连结AD，CD.∴，.又垂心为H，，，∴AH∥CD，CH∥AD，∴四边形AHCD为平行四边形，∴，故.著名的“欧拉定理”讲的是锐角三角形的“三心”——外心、重心、垂心的位置关系：（1）三角形的外心、重心、垂心三点共线——“欧拉线”；（2）三角形的重心在“欧拉线”上，且为外——垂连线的第一个三分点，即重心到垂心的距离是重心到外心距离的2倍。“欧拉定理”的向量形式显得特别简单，可简化成如下的向量问题.例11．设O、G、H分别是锐角△ABC的外心、重心、垂心.求

31、证证明按重心定理G是△ABC的重心按垂心定理由此可得.补充练习1．已知A、B、C是平面上不共线的三点，O是三角形ABC的重心，动点P满足=(++2),则点P一定为三角形ABC的（B）标准文档实用文案A.AB边中线的中点B.AB边中线的三等分点（非重心）C.重心D.AB边的中点1.B取AB边的中点M，则，由=(++2)可得3，∴，即点P为三角形中AB边上的中线的一个三等分点，且点P不过重心，故选B.2．在同一个平面上有及一点Ｏ满足关系式：＋＝＋＝＋，则Ｏ为的（  D  ）Ａ外心Ｂ内心C重心D垂心2．已知△ABC的三个顶点A、B、C及平面内一点P满足：，

32、则P为的（  C  ）Ａ外心Ｂ内心C重心D垂心3．已知O是平面上一 定点，A、B