三角形重心、外心、垂心、内心的向量表示及其性质.docx

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1、⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯向量的重心、垂心、内心、外心、旁心三角形重心、内心、垂心、外心的概念及简单的三角形形状判断方法。重心：ABC中、每条边上所对应的中线的交点；垂心：ABC中、每条边上所对应的垂线上的交点；内心：ABC中、每个角的角平分线的交点（内切圆的圆心）；外心：ABC中、每条边上所对应的中垂线的交点（外接圆的圆心）。一、重心1、O是ABC的重心OAOBOC0若O是ABC的重心，则BOCAOCAOB1ABC故OAOBOC0,1(PA3PGPBPC)G为ABC的重心.3、P是△ABC所在平面内任一点.G是△ABC的重心

2、1(PA).2PGPBPC3证明：PGPAAGPBBGPCCG3PG(AGBGCG)(PAPBPC)∵G是△ABC的重心∴GAGBGC0AGBGCG0，即3PGPAPBPC由此可得PG1(PAPBPC).（反之亦然（证略））33、已知O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足OPOA(ABAC)，(0，)，则P的轨迹一定通过△ABC的重心.例1若O为ABC内一点，OAOBOC0，则O是ABC的（）A．内心B．外心C．垂心D．重心1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯二、垂心1、O是ABC的垂心OAOBOBOCOAOC

3、若O是ABC(非直角三角形)的垂心，则故tanAOAtanBOBtanCOC02、H是面内任一点，HAHBHBHCHCHA点H是△ABC的垂心.由HAHBHBHCHB(HCHA)0HBAC0HBAC,同理HCAB，HABC.故H是ABC的垂心.（反之亦然（证略））3、P是△ABC所在平面上一点，若PAPBPBPCPCPA，则P是△ABC的垂心．由PAPBPBPC，得PB(PAPC)0，即PBCA0，所以PB⊥CA．同理可证PC⊥AB，PA⊥BC．∴P是△ABC的垂心．如图1.ACCBPEMHPAFB图1O图⑷4、已知O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足ABAC，(

4、0，)，则动点P的轨迹一定通过OPOAABcosBACcosC△ABC的垂心．例2P是△ABC所在平面上一点，若PAPBPBPCPCPA，则P是△ABC的（）A．外心B．内心C．重心D．垂心2⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯三、内心1、O是ABC的内心的充要条件是ABACOBBABCCACB0OAOCABACBABCCACBe1Ae2B引进单位向量，使条件变得更简洁。P如果记AB,BC,CA的单位向量为e1,e2,e3，则刚才O是ABC的内心的充要条件可以写成OAe1e3OBe1e2OCe2e302、O是ABC的内心的充要条件也可以

5、是aOAbOBcOC0。3、若O是ABC的内心，则SBOC:SAOC:SAOBa:b:c故aOAbOBcOC0或者sinAOAsinBOBsinCOC0;4、已知I为△ABC所在平面上的一点，且ABc，ACb，BCa．若aIAbIBcIC0，则I是△ABC的内心．∵IBIAAB，ICIAAC，则由题意得(abc)IAbABcAC0，∵bABcACACABABACACABABAC，BABACca∴AIbcABAC．IabcABACAb∵AB与AC分别为AB和AC方向上的单位向量，ABAC∴AI与∠BAC平分线共线，即AI平分BAC．同理可证：BI平分ABC，CI平分ACB．从而I是△ABC的内心

6、，如图。5、已知O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足CC3⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯OPOAABAC，(0，)，则动点P的轨迹一定通过△ABC的内ABACC心．O由题意得APABAC，PABACAB∴当(0，)时，AP表示P的BAC的平分线所在直线方向的向量，故动点轨迹一定通过△ABC的内心，如图。例3O平面上的一定点，A,B,C是平面上不共线的三个点，动点P满足OPOA(ABAC)，0,则P点的轨迹一定通过ABC的（）ABAC（A）外心（B）内心（C）重心（D）垂心四、外心1、O是ABC的外心OA

7、OBOC,若O是ABC的外心则SBOC:SAOC:SAOBsinBOC:sinAOC:sinAOBsin2A:sin2B:sin2C故sinAOAsinBOBsinCOC0。2、已知O是△ABC所在平面上一点，若OA2OB2OC2，则O是△ABC的外心．222222OBOC，则O是△ABC若OAOBOC，则OAOBOC，∴OA的外心，如图1。CBBMPA图1图2OOAC4⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯