《基本不等式(第1课时)》教学设计.doc

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1、必修5第三章不等式3.4.1基本不等式第一课时(王乙橙)一、教学目标1.核心素养通过学习基本不等式，提升学生的直观想象、数学运算与逻辑推理的能力.2.学习目标（1）探索基本不等式的证明过程；（2）会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题.3.学习重点应用数形结合的思想理解基本不等式，并从不同角度探索基本不等式的证明过程.4.学习难点用基本不等式求的最大（小）值.二、教学设计（一）课前设计1.预习任务1.预习课本97页内容,感性认识a2+b2≥2ab这个重要不等式和等号成立的条件.2.能尝试从两方面证明基本不等式吗：≤(1)代数法(2)几何法15/152.预习自测1.设

2、a＞0,b＞0,则+2（填≤或≥），并指出“＝”成立的条件.答案：≥2.已知a∈R,设P＝(4+a2)(4+)，Q＝24，则P与Q的大小关系是　　　　.答案：P＞Q3.设a＞0,b＞0,a≠b,P=,Q=,M=，则P、Q、M按由小到大的顺序排列是　　　　　　答案：Q＞M＞P（二）课堂设计1.问题探究问题探究一什么是基本不等式？●活动一重要不等式？观察与思考：如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客.你还记得是什么吗？（1）设直角三角形的长为a、b，那么正方形的边长为_

3、________;面积为_________,4个直角三角形的面积和是___________.（2）根据4个直角三角形的面积和与正方形面积的大小关系，我们在初中的时候从这个图案中找出过一个相等关系____________________，化简后得到勾股定理.15/15（3）根据4个直角三角形的面积和与正方形面积的大小关系，我们可得到一个怎样的不等式____________________.（4）4个直角三角形的面积和与正方形的面积有相等的情况吗？何时相等？图形怎样变化？（5）你能给出它的证明吗？归纳小结：（重要不等式），对于任意的实数a,b,都有____________

4、;当且仅当_________________.●活动二什么是基本不等式？（1）既然对于任意的实数,都有,如果，用分别代替中的可以得到.（2）对于不等式，你能给出证明吗？归纳小结：若那么______________________,我们把这个不等式叫做基本不等式（又叫均值不等式）.（3）如下图，是圆的直径，点是上任一点，，，过点作垂直于，连接、.你能利用这个图形得出基本不等式几何解释吗？基本不等式解读：①基本不等式的几何意义：②平均数解释：③基本不等式成立的条件是_________；结论是_________.15/15问题探究二基本不等式有那些推论与重要变形？重点知识，

5、运用技巧★▲1.平方平均、算术平均、几何平均与调和平均的关系：若，则有，当且仅当取等.2.基本不等式的几个重要变形：（1）,，当且仅当取等；（2），，当且仅当取等；（3）若，则2，当且仅当取等；问题探究三利用基本不等式能解决哪些问题？重点、难点知识★▲●活动一运用基本不等式比较大小例1　(1)已知a、b∈(0,1)，且a≠b，那么在a＋b，2，a2＋b2，2ab中的最大者为________.【知识点：基本不等式及取等条件】详解：方法一　∵a、b∈(0,1)且a≠b，∴a＋b>2，a2＋b2>2ab.又∵当a、b∈(0,1)时，a>a2，b>b2，∴a＋b>a2＋b2.

6、∴最大者为a＋b.方法二　(特值法)，取a＝，b＝，代入即得：最大者为a＋b.(2)设a>0，b>0，试比较，，，的大小，并说明理由.【知识点：算数平均数，几何平均数，调和平均数，均方根引出的重要结论】详解：方法一　∵a>0，b>0，∴＋≥，即≥(当且仅当a＝b时取等号).15/15又()2＝≤＝，∴≤(当且仅当a＝b时等号成立)而≤，故≥≥≥(当且仅当a＝b时等号成立).方法二　（特值法）取a＝1，b＝4代入即得结论.点拨：(1)利用均值不等式及函数单调性是比较大小的常用方法；(2)代入特殊值，通过计算先估算大小关系，后比较大小更具有目标性●活动二利用基本不等式求最

7、值例2(1)已知a>0，b>0，且a·b＝2，则当a＝b＝______时，a＋b有最小值______.(2)已知a>0，b≥0，且a＋b＝2.则当a＝b＝______时，a·b有最大值_______.【知识点：基本不等式】详解：(1)∵a＋b≥2，∴当a＝b＝时，a＋b有最小值2.(2)∵ab≤()2，∴当a＝b＝1时，a·b有最大值1.点拨：利用基本不等式求最值，必须同时满足以下三个条件：①各项均为正数；②其和或积为常数；③等号必须成立.即“一正，二定，三相等”.简记：积定和最小，和定积最大.●活动三利用基本不等式求最值例3(1)已知x>－1，求f