矢量场的通量及散度.ppt

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1、第二章场论第6讲矢量场的通量及散度主要内容1.通量2.散度3.平面矢量场的通量与散度*教材：第2章第3节简单曲线与简单曲面术语介绍（1）简单曲线：设连续曲线参数方程为：曲线上的每一点都只对应唯一的一个参数值t.(闭合曲线闭合点除外)。简单曲线的一般特征是一条没有重点的连续曲线。（2）简单曲面：设连续曲面参数方程为：曲面上的每一点都只对应唯一的一个参数值（u,v）.(闭合曲面闭合点除外)。简单曲面的一般特征是一条没有重点的连续曲面。1.通量引例：设有流速场v(M),流体是不可压缩的，设其密度为1.求单位时间内流体向正侧穿过有向曲面S的流量Q（如图）

2、。取微元ds(微元内速度矢量和法矢量近似看做不变)，则穿过ds的流量dQ近似等于：以表示点M处的单位法矢量则流量表示为：令为在点M处的这样一个矢量，其方向与法向量n一致，其模等于面积ds。据此，在单位时间内向正侧穿过S的流量，就可用曲面积分表示为：又如：在电位移矢量D分布的电场中，穿过曲面S的电通量：在磁感应强度矢量B分布的电场中，穿过曲面S的磁通量：通量定义：设有矢量场A(M),沿其中有向曲面S某一侧的曲面积分：叫做矢量A(M)向积分所沿一侧穿过曲面S的通量。若：则有：通量是可叠加的。在直角坐标系中，设则通量可写成：又：例1：设由矢径构成的矢量

3、场中，有一由圆锥面及平面所围成的封闭曲面S,如图，试求矢量场从S内穿出S的通量Φ。解：以表示曲面S的平面部分，以表示锥面部分，则通量为：其中其中为在xOy面上的投影。在上有则：所以：例2：设S为曲面被围在圆柱面内的部分，求矢量场向下穿出S的通量。解：S为函数当u取值为0时的一张等值面。由于矢量场向下穿出S的方向，是z减小的方向同时也是u值减小的方向，故S朝此方向的单位法矢量为：所求通量为：通量为正负时的物理意义：对于流速场v(M),设在单位时间内流体向正侧穿过S的流量为Q，根据前面所述，单位时间内流体向正侧穿过曲面元素dS的流量为：其结果是个代数

4、值：若v从曲面的负侧传到曲面的正侧时，v与n夹角为锐角因此dQ为正流量，如下图左所示；反之，v与n夹角为钝角dQ为负流量，如下图右所示：因此，对于总流量一般应理解为：单位时间内流体向正侧穿过曲面S的正流量与负流量的代数和。如果S为一封闭曲面，此时积分一般指沿S的外侧，此时流量表示从内穿出S的正流量与从外穿入S的负流量的代数和。若Q>0,那S内必有正源；同理Q<0,S内必有负源。但是当Q=0时，不能断言S内无源。例3：在点电荷q所产生的电场中。任何一点M处的电位移矢量为其中r是点电荷q到点M的距离，是从点电荷q指向点M的单位矢量。设S为以点电荷为球

5、心，R为半径的球面，求从内穿出S的电通量。解：如图，在球面S上恒有r=R,且法矢量n与的方向一致，所以2.散度散度定义：设有矢量场A(M)，于场中一点M的某个领域内作一包含M点在内的任一闭曲面△S，设其所包围的空间区域为△Ω，以△V表示其体积，以△Φ表示从其内穿出S的通量，若当△Ω以任意方式缩向点M时，比式：的极限存在，此极限为矢量场A(M)在点M处的散度。记作divA,散度divA为一数量，表示在场中一点处通量对体积的变化率，也就是在该点处对一个单位体积来说所穿出的通量，称为该点处源的强度。divA的符号为正表示该点处有散发通量的正源，反之则有

6、吸收通量的负源。其绝对值

7、divA

8、表示该点处散发或吸收通量的强度。当divA的值为零时，表示该点处无源，由此称divA≡0的矢量场为无源场。把矢量场A中每一点的散度与场中的点一一对应起来就得到一个数量场，称之为由此矢量场产生的散度场。散度在直角坐标系中的表达式：定理：在直角坐标系中，矢量场在任一点的散度为：证明：由高斯公式得：再按中值定理有M*为△Ω内的某一点，由此：当△Ω缩向点M时，M*就趋于M,所以推论1：高斯公式可写成如下的矢量形式：推论2：穿出封闭曲面S的通量等于S所围区域Ω上的散度在Ω上的三重积分由推论1可知：若在封闭曲线S内处处有d

9、ivA=0,推论3：若在矢量场A内，某些点（或区域）上有divA≠0或divA不存在，而在其他的点都有divA=0，则穿过包围这些点（或区域）的任意两张封闭曲面的通量都相等，为一常数。例4：在点电荷q所产生的静电场中。求电位移矢量D在任一点M处的散度divD。解：取点电荷所在之点为坐标原点，此时：其中因此于是有（r≠0）所以可见，除点电荷q所在的原点（r=0）divD不存在外，电位移D的散度处处为零，为一无源场。根据推论3和例3有电场穿过包含点电荷q在内的任何风闭曲面S的电通量都等于q，再根据通量可累加，可以得出电学上的高斯定理：穿出任意封闭曲面

10、S的电通量，等于其内各点电荷的代数和。对于在电荷连续分布的电场中，点位移矢量D的散度为：根据高斯定理：即电位移D的散度等于电荷分布的体密