第2节、随机变量的特征函数课件.ppt

《第2节、随机变量的特征函数课件.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、§2随机变量的特征函数随机变量的特征函数是研究概率论的有力工具，它亦是概率论自身内容的一个组成部分。在介绍特征函数之前先引进斯蒂尔吉斯积分。一、斯蒂尔吉斯积分先看有限区间上的斯蒂尔吉斯积分。定义：设f(x),g(x)是定义在区间[a,b]上的两个有界函数。把区间[a,b]分成n个子区间，分点为，在每一个子区间上任意取一个点作和式令。如果极限存在，且与子区间的分法和的取法无关，则称此极限为函数f(x)对函数g(x)在区间[a,b]上的斯蒂尔吉斯(Stieltjea)积分，简称S积分。记§2随机变量的特征函数为。此时也称f(x)对g(x)在

2、区间[a,b]上S可积。S积分是高等数学中黎曼积分的推广。如果取g(x)=x，那么S积分就变成黎曼积分了。在无限区间上的S积分，可用如下定义。定义：设f(x),g(x)是定义在无限区间上的两个函数。若在任意有限区间[a,b]上，f(x)对g(x)是S可积的，且极限存在，则称此极限为f(x)对g(x)在无限区间上的斯蒂尔吉斯积分。简称S积分。记为。在S积分中，当g(x)取一些特殊形式时积分可化为通常积分或级数。§2随机变量的特征函数若g(x)是在上的阶梯函数，它的跳跃点为（有限多个或可列无限多个），则若g(x)是在上的可微函数，它的导函数

3、为，则上面两个结果我们就不证明了。前者把S积分化成和式，后者把S积分化成黎曼积分。§2随机变量的特征函数定义:设函数g(x)定义在无限区间上，若积分存在，则称此积分为对g(x)的傅里叶-斯蒂尔吉斯（Fourier-Stieltjes）积分，简称F-S积分。二、特征函数先引进复随机变量。定义:如果X与Y都是概率空间(Ω,F,P)上的实值随机变量，则称为复(值)随机变量，其中。复随机变量是取复数值的随机变量。它的数学期望定义为EZ=EX+iEY其中E(X)，E(Y)是（实值）随机变量的数学期望。若X是(实值)随机变量，那么eitX应是复随机

4、变量。§2随机变量的特征函数定义：设X是(实值)随机变量，则对任意实数t称为随机变量X的特征函数，其中。设离散随机变量X的分布列为则X的特征函数可表示成(1)设连续随机变量X的分布密度为f(x)，则X的特征函数可表示成(2)一般的，设随机变量X的分布函数是F(x)，则X的特征函数可表示为(3)§2随机变量的特征函数由（2）式可见，连续随机变量的特征函数是分布密度f(x)的傅里叶积分，简称F积分。（3）式表明随机变量的特征函数是分布函数F(x)的傅里叶-斯蒂尔吉斯积分，或F-S积分。傅里叶积分在数学中和工程技术上是一个强有力的工具。后面将

5、看到它在概率论中的作用。下面计算一些重要分布的特征函数。例1.单点分布设随机变量X的分布为，其中c是常数。由（1）式，有例2.二项分布设随机变量X的分布列为由（1）式，有§2随机变量的特征函数例4：正态分布正态分布N(a,σ2)的分布密度是其中。由（2）式，得特殊情形，标准正态分布N(0,1)的特征函数为已知一个概率分布用（1）、（2）或（3）式计算它的特征函数。反过来，如果给定一个特征函数怎样确定它所对应的概率分布呢？且问它所对应的概率分布是否唯一？§2随机变量的特征函数先看连续概率分布情形。此时，特征函数是分布密度f(x)的F积分，

6、那么f(x)应当是的反演。根据F积分理论，在的条件公式下有反演公式(4)且F积分反演是唯一的。一般地说，随机变量X的概率分布用分布函数F(x)给出。由特征函数确定对应的分布函数F(x)可用下面公式。逆转公式设分布函数F(x)的特征函数为，则对的连续点，有(5)此公式的证明略§2随机变量的特征函数唯一性定理分布函数F(x)被它的特征函数唯一的确定。证:在F(x)的连续点x上，利用逆转公式，当y沿着F(x)的连续点趋向于时，有(6)在F(x)的不连续点上，利用分布函数的右连续性，选一列单调下降的趋向于x的F(x)的连续点，那么(7)式（6）

7、与（7）给出了由特征函数确定分布函数F(x)的公式，且由确定F(x)是唯一的。定理证毕。由此定理可见概率分布函数F(x)与特征函数是一一对应的。例如，特征函数是的概率分布必定是二项分布；特征函数是的概率分布必定是标准正态分布。在概率论中，概率分布与特征函数的一一对应性，是特征函数应用的理论基础。§2随机变量的特征函数三、特征函数的性质下面介绍特征函数的一些性质。一般地说，可以用特征函数表示式（3）进行证明。为了方便起见，我们仅对连续概率分布情形，用特征函数表示式（2）进行证明。(1)证：又(2)共轭对称性证：(3)特征函数在区间上一致连

8、续。所谓函数在区间上一致连续，其定义为：任给，总可以找到与t无关的，当时有§2随机变量的特征函数应该指出，函数在区间上一致连续可以得到它在每一点t上都连续，即在上连续；由于一致连续要求与t无关，所以在区间上