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1、3.1随机变量的函数变换在随机试验E中，设样本空间为S={ei},对每一个试验结果ei，对应于X的某个取值X(ei)，相应地指定一个Y(ei)，且Y(ei)与X(ei)有如下关系：显然，Y的概率特性与X是有关系的。第三讲随机变量的函数与特征函数3.1.1一维变换若随机变量X、Y满足下列函数关系如果X与Y之间的关系是单调的，并且存在反函数，即若反函数h(Y)的导数也存在，则可利用X的概率密度求出Y的概率密度。综合上述讨论，得到如果X和Y之间不是单调关系，即Y的取值y可能对应X的两个或更多的值x1,x
2、2,…,xn。假定一个y值有两个x值与之对应，则有一般地，如果y=g(x)有n个反函数h1(y),h2(y),…,hn(y)，则3.1.2二维变换设二维随机变量(X1,X2)的联合概率密度f(x1,x2)，另有二维随机变量(Y1,Y2)，且求随机变量(Y1,Y2)的联合概率密度f(y1,y2)。3.2随机变量的特征函数3.2.1特征函数的定义随机变量X的特征函数就是由X组成的一个新的随机变量ejwX的数学期望，即离散随机变量和连续随机变量的特征函数分别表示为随机变量X的第二特征函数定义为特征函数的
3、对数，即对二维随机变量，可用类似的方法定义特征函数第二特征函数定义为特征函数作用可以简化各阶矩的运算可以简化一维随机变量函数的运算可以简化独立随机变量和的分布的计算3.2.2特征函数的性质性质1：性质2：若Y=aX+b，a和b为常数，Y的特征函数为性质3：互相独立随机变量之和的特征函数等于各随机变量特征函数之积，即若则3.2.3特征函数与矩函数的关系矩函数与特征函数之间存在如下关系：3.2.4特征函数与概率密度的关系由定义可知，特征函数与概率密度函数有类似傅氏变换的关系略有不同，指数项差一符号3.
4、3常见分布3.3.1常见的离散型分布一.两点分布如果随机变量X的分布为则称X服从两点分布，也称为贝努里分布。当a、b分别为0、1时，称这种分布为0－1分布。XPab1－pp二.二项分布设随机试验E只有两种可能的结果且将E独立地重复n次，那么在n次试验中事件A发生m次的概率为称为二项分布。三.泊松分布设随机变量X的可能取值为0,1,2,…,且分布密度为则称X服从泊松分布。3.3.2常见的连续分布一.均匀分布设连续型随机变量X在有限区间[a,b]内取值，且其概率密度为则称X在区间[a,b]上服从均匀分
5、布。随机变量X的分布函数为1)一维高斯分布高斯变量X的概率密度为：二.高斯分布概率分布函数对高斯变量进行归一化处理后的随机变量，称为归一化高斯变量。即令，归一化后的概率密度为服从标准正态分布N(0,1)的高斯变量X，其特征函数为服从的高斯变量Y，其特征函数为（1）已知X为高斯变量，则Y=aX+b（a,b为常数）也为高斯变量，且（2）独立高斯变量之和仍为高斯变量。高斯变量特点：推广到多个互相独立的高斯变量，其和也是高斯分布。即若Xi服从，则其和的数学期望和方差分别为若有大量相互独立的随机变量的和其中
6、每个随机变量Xi对总的变量Y的影响足够小时，则在一定条件下，当时，随机变量Y是服从正态分布的，而与每个随机变量的分布律无关。结论：任何许多独立作用之和的物理过程，都趋于高斯分布。（3）中心极限定理2）二维高斯分布设X是均值为，方差为的正态随机变量，Y是均值为，方差为的正态随机变量，且X,Y的相关系数为，则二维随机变量(X,Y)为一个二维正态随机变量，其联合概率密度函数为设n维随机变量向量为Y，数学期望和方差向量为m和s，它们具有如下形式：Y=m=s=协方差矩阵CC=则n维联合概率密度函数为三.分布
7、1)中心分布若n个互相独立的高斯变量X1,X2,…,Xn的数学期望都为零，方差为1，它们的平方和的分布是具有n个自由度的分布。其概率密度为当互相独立的高斯变量Xi的方差不是1，而是时，Y的概率密度为性质：两个互相独立的具有分布的随机变量之和仍为分布，若它们的自由度分别为n1和n2，其和的自由度为n=n1+n2。2)非中心分布若互相独立的高斯变量Xi(I=1,2,…,n)的方差为，数学期望为，则为n个自由度的非中心分布。其概率密度为称为非中心分布参量性质：两个相互独立的非中心分布的随机变量之和仍为非
8、中心分布，若它们的自由度为n1和n2，非中心分布参量分别为和，其和的自由度为n=n1+n2，非中心分布参量为四.瑞利分布和莱斯分布1)瑞利分布对于两个自由度的分布，即Xi(I=1,2)是数学期望为零，方差为且相互独立的高斯变量，则为瑞利分布。R的概率密度为对n个自由度的分布，若令则R为广义瑞利分布2)莱斯分布当高斯变量Xi(I=1,2,…,n)的数学期望为不为零时，是非中心分布，而则是莱斯分布。对于任意n值有3.4.1随机序列收敛设有随机变量X及随机变量序列{Xn}(n=1,2,…
