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1、.第四章大数定律与中心极限定理4.1特征函数内容提要1.特征函数的定义设X是一个随机变量,称为X的特征函数,其表达式如下由于,所以随机变量X的特征函数总是存在的.2.特征函数的性质(1);(2)其中表示的共轭;(3)若Y=aX+b,其中a,b是常数.则(4)若X与Y是相互独立的随机变量,则(5)若存在,则可次求导,且对,有(6)一致连续性特征函数在上一致连续(7)非负定性特征函数是非负定的,即对任意正整数n,及n个实数和n个复数,有(8)逆转公式设F(x)和分别为X的分布函数和特征函数,则对F(x)的任意两个点,有特别对F(x)的任意两个连续点,有(9)唯一性定理随机变量的分布函
2、数有其特征函数唯一决定；..(10)若连续随机变量X的密度函数为p(x),特征函数为如果,则3.常用的分布函数特征表分布特征函数退化分布P(X=a)=1二项分布几何分布正态分布标准正态分布均匀分布U(a,b)均匀分布U(-a,b)指数分布伽玛分布Ga(a,l)分布泊松分布习题与解答4.11.设离散随机变量X的分布列如下,试求X的特征函数.X0123P0.40.30.20.1解2.设离散变量X服从几何分布试求X的特征函数,并以此求E(X)和Var(x).解记q=1-p,则,..,,,,3．设离散随机变量X服从巴斯卡分布试求X的特征函数.解设是相互独立同分布的随机变量,且都服从参数为
3、p的几何分布Ge(p),则由上一题知的特征函数为其中q=1-p.又因为,所以X的特征函数为.4．求下列分布函数的特征函数,并由特征函数求其数学期望和方差.(1)(a>0);(2)(a>0).解(1)因为此分布的密度函数为所以此分布的特征函数为..=又因为所以Var(X)=(2)因为此分布的密度函数为所以此分布的特征函数为又因为当t>0时,有(见菲赫金哥尔茨《微积分学教程》第二卷第三分册或查积分表)所以当t>0时,有而当t<0时,有所以又因为在t=0处不可导,故此分布(柯西积分)的数学期望不存在.注：也可利用复变函数中的留数理论来计算,方法如下：t>0时,5.设试用特征函数的方法求
4、X的3阶及4阶中心矩.解因为正态分布的特征函数为所以..由此得X的3阶及4阶中心矩为6.试用特征函数的方法证明二项分布的可加性：若X~b(n,p),Y~b(m,p),且X与Y独立,则X+Y~b(n+m,p).证记q=1-p,因为,,所以由X与Y的独立性得,这正是二项分布b(n+m,p)的特征函数,由唯一性定理知X+Y~b(n+m,P).7.试用特征函数的方法证明泊松分布的可加性：若X~P(l1),Y~P(l2),且X与Y独立,则X+Y~P(l1+l2).证：因为所以由X与Y独立性得这正是泊松分布P(l1+l2).的特征函数,由唯一性定理知X+Y~P(l1+l2)..8.试用特征函
5、数的方法证明伽玛分布的可加性：若,且X与Y独立,则.证因为,,所以由X与Y的独立性得,这正是伽玛分布的特征函数,由唯一性定理知.9.试用特征函数的方法证明分布的可加性：若,,且X与Y独立,则..证因为,,所以由X与Y的独立性得,这正是分布(n+m)的特征函数,由唯一性定理知10.设独立同分布,且.试用特征函数的方法证明:.证因为,所以由诸的相互独立性得的特征函数为,这正是伽玛分布的特征函数,由唯一性定理知.11.设连续随机变量X服从柯西分布,其密度函数如下：,其中参数,常记为,(1)试证X的特征函数为,且利用此结果证明柯西分布的可加性；(2)当时,记Y=X,试证,但是X与不独立；
6、(3)若相互独立,且服从同一柯西分布,试证：与Xi同分布.证(1)因为的密度函数为,由本节第4题(2)知Y的特征函数为.由此得的特征函数.下证柯西分布的可加性:设服从参数为的柯西分布,其密度函数为:.若与相互独立,则,..这正是参数为柯西分布的特征函数.所以由唯一性定理知,服从参数为的柯西分布.(2)当时有,,所以.由于Y=X,当然X与Y不独立.此题说明,由不能推得X与Y独立.(3)设都服从参数为的柯西分布,则特征函数为.由相互独立性得,的特征函数为,即与X1具有相同的特征函数,由唯一性定理知它们具有相同的分布.12.设连续随机变量X的密度函数为p(x),试证：p(x)关于原点对
7、称的充要条件是它的特征函数是实的偶函数.证：记X的特征函数为.先证充分性,若是实的偶函数,则或,这表明X与-X有相同的特征函数,从而X与-X有相同的密度函数,而-X的密度函数为p(-x),所以得p(x)=p(-x),即p(x)关于原点是对称的.再证必要性.若p(x)=p(-x),则X与-X有相同的密度函数,所以X与-X有相同的特征函数.由于-X的特征函数为,所以=,故是实的偶函数.13.设独立同分布,且都服从N()分布,试求的分布.解：因为Xj的特征函数为,所以由诸Xi互相独立得
