高中数学解题方法谈：立体几何妙解

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1、高中数学辅导网http://www.shuxuefudao.com拙解凭力妙解靠智立体几何客观题重在考查空间想象、推理与计算等逻辑思维，解答应尽量避免“小题大做”，选择合理的答题途径，熟记相关结论不失为好方法，正所谓“拙解凭力，妙解靠智”！例1　在三棱柱中，点分别为的中点，为的重心，从中取一点作为Ｐ，使得该棱柱恰有2条棱与平面平行，则Ｐ为（　　）.（A）Ｋ　　（B）Ｈ　　（C）Ｇ　　（D）拙解：如图1，若选，连结是的中位线，则，三棱柱各棱中，仅有∥面（即），排除（D）．如图2，若选，设Ｎ是的中点，连结和，则为平行四边形，三棱柱各棱中，有5条棱即都与面EFKN（即

2、平面EFK）平行，排除（A）．如图3，若选Ｈ，连结，则已有等，也不止2条棱与面平行，排除（B）．只能选（Ｃ）.　　点评：这是2005年湖北卷第10题．有一定的难度，在选择题中再设计了“选择”，有的考生因为选择的层次较多，把选择题所暗示有关信息抛弃了，干脆当成普通题来解，使得小题变成了实实在在的大题!其实，抓住的重心，是破解本题的关键．妙解：三棱柱一共有9条棱，要从中仅仅选出2条棱与平面PEF平行，显然3条侧棱是不可能的，因为它们在“平行”上是“整体捆绑”的．于是Ｋ点可以排除．符合条件的2条棱只能在上下底棱中，而且应在同一个侧面上，应该就是棱，它们都平行于平面PE

3、F内的直线．由于在棱上，被排除．又平行于，点被排除．只能选（Ｃ）.点评：面对着众多的选择对象，往往有两种选择方式：一是随便拿一个来检验，不对时再换一个；二是考虑“可能性最大”的那一个来检验.后一种办法靠直觉思维，并非“信手拈来”．直觉是建立在积累之上所养成的习惯，积淀既深便是一种“自然行为”．例2　将半径都为l的4个钢球完全装入形状为正四面体的容器里，这个正四面体的高的最小值为（　　）.（A）　　（B）（C）　　（D）说明：这是2005年全国卷Ⅱ第12题．背景简单：四个小球外切并与正四面体相内切；选择支数据都有．估计计算量会比较大，有人用“重型计算武器”奉献了如

4、下的解法：京翰教育1对1家教http://www.zgjhjy.com/高中数学辅导网http://www.shuxuefudao.com拙解：正四面体的高最小时，即四个小钢球与正四面体的各个面相切．首先求出一个小球的球心到另三个小球球心所在平面的距离（如图4）．然后再求出最上面的小球的球心到正四面体的顶点A的距离（如图5），设，则，由，得，即.　　.　　由题意可知三个球心到正四面体底面的距离为1，正四面体的高的最小值为.点评：这个结果虽然正确，但所付出的代价太大．一个才5分的选择题，按这个解法要花十几分钟的时间，的确是“小题大做”．有更好的解法吗?答案是肯定的

5、！妙解：“容器四面体”中的四个小球，以球心为顶点构成了一个棱长为2的“球心正四面体”，这个四面体的高是“单位正四面体”高的2倍，即．“球心正四面体”的底面到“容器正四面体”底面的距离为小球半径1，而“球心正四面体”顶点到“容器正四面体”顶点的距离为3（小球半径的3倍），于是“容器正四面体”的高为.要做到“不动一笔”需要两个基础：一是要牢记“单位正四面体”的高为，二是要知道正四面体的中心把高线分成1∶3．对于后者，作正四面体的外接球和内切球，则两个球的球心与正四面体的中心重合，而中心到顶点的距离是中心到底面距离的3倍.事实上，设球心为Ｏ，底面积为Ｓ，内切球与外接球

6、半径分别为r，Ｒ，则京翰教育1对1家教http://www.zgjhjy.com/高中数学辅导网http://www.shuxuefudao.com.再解：“球心正四面体”与“容器正四面体”是同中心的“相似形”，这个公共的中心以1∶3的比例分割了“球心正四面体”的高线，那么，这个公共的中心应以1：3的比例分割“容器正四面体”的高线．既然球心正四面体的高线向下面的底面延长了1个小球半径，那么，对应的高线应该向上面的顶点延长3个小球半径．于是容器正四面体的高线比球心正四面体的高线共延长出4个小球半径．点评：想的更比算的好！“妙解”是在三维空间（立体）中想问题，而“再

7、解”却简化到一维空间（直线）内想问题，确实是“没有最好，只有更好！”京翰教育1对1家教http://www.zgjhjy.com/