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1、实变函数测试题集锦一、填空题设,,则.,因为存在两个集合之间的一一映射为.设是中函数的图形上的点所组成的集合，则，.若集合满足,则为集.若是直线上开集的一个构成区间,则满足:,.设使闭区间中的全体无理数集,则.若,则说在上.设,,若,则称是的聚点.设是上几乎处处有限的可测函数列,是上几乎处处有限的可测函数,若,有,则称在上依测度收敛于.设,,则的子列,使得.11.=.12.=.13.到的双射是.14.的全体聚点所组成的集合包含于的充要条件是.15.中无理数集的外测度为.16.中所有开集生成的代数记为B，称B中的集合为.17.若，则对任意的点集，必有.18.当为闭区间时，.19.设函数在可测
2、集上几乎处处有限，若对任意给定的，存在中的一个闭集，使，且在上连续，则是可测集上的.20.是否存在开集使其余集仍为开集（是或不是选其一填写）.21．如果则称是自密集，如果则称是开集，如果则称是.22．设表示为一列开集之交集：，则称为.23.若表示为一列闭集之并集：，则称为.24.()，在上可测，则=.25.Cantor集的外测度为.26．(Fatou引理)设是可测集上一列非负可测函数，则.二、判断题.正确的证明,错误的举反例.若可测,且,则.设为点集,,则是的外点.点集的闭集.任意多个闭集的并集是闭集.若,满足,则为无限集合.6.若与它的真子集对等，则一定是有限集．7.凡非负可测函数都是可
3、积的． 8.设为空间中一非空集，若则9.设为可测集，则存在型集，使得，且．10.在上可积，则在可积且三、计算证明题1.证明:2.设是空间中以有理点(即坐标都是有理数)为中心,有理数为半径的球的全体,证明为可数集.3.设,且为可测集,.根据题意,若有,证明是可测集.设是集,.求.设函数在集中点上取值为,而在的余集中长为的构成区间上取值为,,求.求极限:.7.开集减闭集后的差集为开集，闭集减开集后的差集为闭集．8.上全体有理数点集的外测度为零．9.设函数列在上依测度收敛，且于，则于．10.设在上可积，则．11..12、证明。证明：设，则，使一切，，所以,则可知。设，则有,使，所以。因此
4、，=。13、设。求在内的，，。解：，，。14、若，对，存在开集,使得且满足，证明是可测集。证明：对任何正整数，由条件存在开集，使得。令,则是可测集，又因，对一切正整数成立，因而=0，即是一零测度集，故可测。由知可测。证毕。15、试构造一个闭的疏朗的集合，。解：在中去掉一个长度为的开区间，接下来在剩下的两个闭区间分别对称挖掉长度为的两个开区间，以此类推，一般进行到第次时，一共去掉个各自长度为的开区间，剩下的个闭区间，如此重复下去，这样就可以得到一个闭的疏朗集，去掉的部分的测度为。所以最后所得集合的测度为，即。16、设在上，且几乎处处成立，,则有a.e.收敛于。证明因为，则存在，使在上a.e.
5、收敛到。设是不收敛到的点集。，则。因此。在上，收敛到，且是单调的。因此收敛到（单调序列的子列收敛，则序列本身收敛到同一极限）。即除去一个零集外，收敛于，就是a.e.收敛到。17、设,是上有限的可测函数。证明存在定义于上的一列连续函数，使得于。证明：因为在上可测，由鲁津定理，对任何正整数,存在的可测子集，使得，同时存在定义在上的连续函数，使得当时有=。所以对任意的，成立，由此可得。因此，即，由黎斯定理存在的子列，使得a.e于.证毕。18、设为a.e有限可测函数列，证明：的充要条件是。证明：若0，由于,则。又，,,常函数1在上可积分，由勒贝格控制收敛定理得。反之，若（），而且，对，令,由于函数
6、,当时是严格增加函数，因此。所以，即。19、试求。解令，则为非负连续函数，从而非负可积。根据积分逐项积分定理，于是，。20、设，a.e.有限的可测函数列和，，分别依测度收敛于和，证明。证明：因为于是，成立，所以即21、试从求证。证明：在时，，由L逐项积分定理，另一方面因此可得：。22．.23.设是一个集合，、是两个集列，证明：.24.设是上一列几乎处处有限的可测函数，，证明：存在一列可测集，，使得，而在每个上一致收敛于.25..26．.27.叙述并证明鲁津（Lusin）定理的逆定理.28.设，是上有限的可测函数，证明：存在定义在上的一列连续函数，使得于.
