高三数学教案：几种常见函数的导数2.docx

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1、课题：3．2几种常见函数的导数教学目的：1.掌握四个公式，理解公式的证明过程.2.学会利用公式，求一些函数的导数.3.理解变化率的概念，解决一些物理上的简单问题教学重点：用定义推导常见函数的导数公式．教学难点：公式(xn)'nxn1(nQ)的推导．授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：1.导数的定义：设函数yf(x)在xx0处附近有定义，当自变量在xx0处有增量x时，则函数yf(x)相应地有增量yf(x0x)f(x0)，如果x0时，y与x的比y（也叫函数的平均变化率）有极限即y无限xx趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做函数yf(x)在xx

2、0处的导数，记作y/，即f/(x0)lim0f(x0x)f(x0)xx0xx2.导数的几何意义：是曲线yf(x)上点（x0,f(x0)）处的切线的斜率因此，如果yf(x)在点x0可导，则曲线yf(x)在点（x0,f(x0)）处的切线方程为yf(x0)f/(x0)(xx0)3.导函数(导数):如果函数yf(x)在开区间(a,b)内的每点处都有导数，此时对于每一个x(a,b)，都对应着一个确定的导数f/(x)，从而构成了一个新的函数f/(x),称这个函数f/(x)为函数yf(x)在开区间内的导函数，简第1页共7页称导数，也可记作y/，即f/(x)＝y/＝limylimf(xx)f(x)

3、x0xx0x函数yf(x)在x0处的导数y/xx0就是函数yf(x)在开区间(a,b)(x(a,b))上导数f/(x)在x0处的函数值，即y/xx＝f/(x0)所以函数0yf(x)在x0处的导数也记作f/(x0)导数与导函数都称为导数，这要加以区分：求一个函数的导数，就是求导函数；求一个函数在给定点的导数，就是求导函数值它们之间的关系是函数yf(x)在点x0处的导数就是导函数f/(x)在点x0的函数值4.可导:如果函数yf(x)在开区间(a,b)内每一点都有导数，则称函数yf(x)在开区间(a,b)内可导5.可导与连续的关系：如果函数y=f(x)在点x0处可导，那么函数y=f(x)

4、在点x0处连续，反之不成立.函数具有连续性是函数具有可导性的必要条件，而不是充分条件.6.求函数yf(x)的导数的一般方法：（1）求函数的改变量yf(xx)f(x)（2）求平均变化率yf(xx)f(x)xx（3）取极限，得导数y/＝f(x)limyx0x二、讲解新课：1.C'0(C为常数)说明：此公式可以叙述为：常函数的导数为零．其几何解释是：函数yC的图象是平行于x轴的直线，其上任一点的切线即为直线本身，所以切线的斜率都是0.证明：yf(x)=，∴=(x+x)－()=－=0CyffxCC∴y=0，yClimy=0，∴y=0.=′=xx0x第2页共7页2.(xn)'nxn1(nQ)

5、明：上，此公式nR都成立，但明复，所以本只出了nN*的明明：yf(x)=xn∴y=f(x+x)－f(x)=(xx)nxn=xn+C1nxn1x+Cn2xn2(x)2+⋯+Cnn(x)n－xn1xn1x2xn2(x2⋯n(x)n=Cn+Cn)++Cn·y=C1nxn1+Cn2xn2x+⋯+Cnn·(x)n1x∴y=(xn)=limyx0x=lim（C1nxn1+Cn2xn2x+⋯+Cnn·(x)n1)=C1nxn1=nxn1x0∴y=(xn)'nxn13.(sinx)'cosx明方法一：y=sinx，y=sin(x+x)－sinx=sinxcosx+cosxsinx－sinxysin

6、xcosxcosxsinxsinxxx∴y=limylimsinxcosxcosxsinxsinxx0xx0xlimsinx(cosx1)cosxsinxx0xsinx(2sin2x)limcosxsinxlim2x0xx0x第3页共7页sin2xxlim(2sinx)x2cosxx024()2=－2sinx·1·0+cosx=cosx∴y=cosx证明方法二：ysinx，ysin(xx)sinx2cos(xx)xsin(xx)x222cosxxsinx，22yxsinxcosx2，x2x2xyxsin∴y'(sinx)'limlimcosx2x2xx0x02xsinxlimcos

7、xlim2cosx．x02x0x24.(cosx)'sinx证明方法一：y=cosx，y=cos(x+x)－cosx=cosxcosx－sinxsinx－cosxy=limylimcosxcosxsinxsinxcosxx0xx0xlimcosx(cosx1)sinxsinxx0xcosx(2sin2x)limsinxsinxlim2x0xx0x第4页共7页sin2xxlim(2cosx)x2sinx12cosx10sinxsinxx024()2∴y=－sinx证明方