高等代数II期中试卷.doc

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1、北京交通大学2017-2018学年第二学期高等代数II期中考试试卷答案一．填空题(每题3分,共30分)1.已知中的向量在基下的坐标是,则在基下的坐标是。2.已知线性空间的两组基和，则由基到基的过渡矩阵是。3.设线性变换A在基的矩阵为，线性变换B在基下的矩阵为，那么A+B在基下的矩阵为。4．已知三阶矩阵满足，则36。5.若矩阵有个线性无关的特征向量，则=0。6．复数域C上阶上三角矩阵的全体关于矩阵的加法和数乘构成实数域R上的线性空间,其维数是n(n+1)。7.设是的特征向量，则2　．8．下列变换A中，是线性变换的有(C)(A)在

2、中，A；(B)在中，A；(C)在中，A；(D)把复数域看作复数域上线性空间，定义A其中是任意复数。9.设线性变换A在基下的矩阵是,向量a在基下的坐标是,则A(a)在该基下的坐标是.10.以下断言正确的有(1)个。(A)平面上的向量关于下面定义的加法、数乘运算：构成实数域上的线性空间；(B)设是维线性空间上的线性变换，则；(C)的两个子空间，其中是全体迹为0的n阶实方阵，是全体n阶实上三角阵，则和是直和；(D)若两个同阶方阵有相同的特征多项式，则与相似。二．（10分）设，。求的维数和一组基。解…7分维数是5，是一组基.……10分

3、三．（10分）设，是线性空间的两个子空间，其中；，。(1)求的维数和一组基；(2)求的维数和一组基。解（1）的一个极大线性无关组是。所以的维数是4，一组基是。....5分.（2）设。则，即，解得。故，这样它的维数是1，一组基是....10分.四．（16分）设A是线性空间上的一个线性变换,且A，A，A。（1）证明是的一组基;（2）求A在基下的矩阵;（3）求A的值域的维数与一组基;（4）求A的核的维数与一组基。解(1)令，则。因为行列式，所以向量组是的一组基;…3分（2）A所以A在基下的矩阵是。……9分(3)它的维数为2，一组基是

4、：……12分(4)它的维数为1，一组基是。……16分五．（14分）在线性空间上定义线性变换A如下：A。（1）求A的特征值与特征向量（2）问A能否对角化？若能，试求出的一组基，使A在这组基下的矩阵为对角矩阵。解(1)取的一组基，A在该基下的矩阵为…4分求出A的特征根为1，1，2，2。…..5分对应特征值1，解齐次线性方程组得基础解系…..8分于是A的属于1的线性无关的特征向量是；对应特征值2，解齐次线性方程组得基础解系…..11分于是A的属于2的线性无关的特征向量是.（2）因为A有4个线性无关的特征向量，所以A能否对角化，且A在

5、基（特征向量的基和起来）下的矩阵为对角阵…..14分六、（10分）若三阶矩阵有特征值1（二重）和3，且可以对角化。求（1）的值；（2）可逆矩阵，使为对角形。解(1)由已知条件，可知与相似，所以解得。………5分(2)对特征值1，解方程组，得基础解系对特征值3，解方程组，得基础解系令则。………10分七、证明题（每小题5分，共10分）1.设分别是方阵的属于特征值的特征向量。若，证明不是的特征向量。证明假设是的特征向量，则，即。因为属于不同特征值的特征向量线性无关，所以，于是，与题设矛盾。2．设阶方阵满足是方程组的解空间，是方程组的解

6、空间，证明：。证明关于中任何向量，有，易知所以。由知，故从而。