第五章--导热问题的数值解ppt课件.ppt

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1、第五章导热问题的数值解数值求解方法是以离散数学为基础，以计算机为工具的一种求解方法。与各种分析求解的方法相比，它在应用方面表现出很大的适用性，对于处理诸如非线性、复杂几何形状、复杂边界条件的问题以及藕合的偏微分方程组等都能较好地解决。尤其是随着计算机技术的迅速发展，数值计算的精度和速度都大大提高。因此，稍微复杂一些的导热问题现在主要依靠数值法求解。目前用于求解偏微分方程的数值方法主要有有限差分法(FDM)、有限元法(FEM)[1,2]和边界元法(BEM)。有限元法起源于固体力学和结构分析。与有限差分法相比，有限元法在整个区域内单元的划分比较随意，更易于处理不规则几何形状的问题。有限差

2、分法涉及的数学基础及其表达式比较简单，本章将主要介绍有限差分法及其在导热中的应用。5-1导数的有限差分近似表达式有限差分的数学基础是用差商代替微商，即用有限差分代替导数。若f(x)是连续函数，则它的导数定义为(5-1-1)在这里，df/dx称为微商(导数)，△f/△x称为有限差商。微商是有限差商当△x趋于零时的极限。在△x没有达到零以前，△f/△x只是df/dx的近似，而两者的差值就是用差商代替微商的偏差。利用泰勒级数可以得到一个函数的导数的有限差分近似表达式，如图5-1所示朝前差分(5-l-7)朝后差分(5-1-8)5-1导数的有限差分近似表达式图5-1函数的微商与差商5-1导数的

3、有限差分近似表达式式中的O(△x)是用差商代替微商的误差，即舍去泰勒级数的高阶项引起的误差，称为截断误差。这里O表示数量级，O(△x)表示该截断误差是与△x同量级的小量。一阶导数的中心差分表达式(5-1-9)注意中心差分格式的截断误差是(△x)2量级的。二阶导数的中心差分格式(5-l-10)前面介绍的一阶导数的差分格式都只用到两个点的函数值，为了得到更高精度的差分格式，可以利用更多点的函数值。二阶导数的朝前差分：(5-1-14)将以上方法推广，可以得到更高精度的各种有限差分表达式。这里以二维稳态导热为例讨论有限差分法的应用。为了进行数值求解，首先要把求解的区域离散化。有限差分法要求来

4、用正交的网格，在直角坐标系中就是矩形网格，如图5-2所示。网线的交点称为节点，在区域内的节点称为内节点，落在边界上的节点为边界节点。网线之间的距离称为步长。x方向的步长记为△x，y方向的步长记为△y。为了便于计算，需要对节点编号。若节点P的坐标为(x,y)，x＝i△x，y＝i△y，则用(i,j)表示节点的位置，节点的温度t(x，y)则记为ti,j。数值求解的第二步是建立节点方程，即对每一个节点写出一个代数方程。建立节点方程的方法之一是从微分形式出发，也就是在微分方程或边界条件中用差商近似微商，可以得到以节点温度为未知量的代数方程。5-2稳态导热的数值分析5-2稳态导热的数值分析图5-

5、2差分区域的离散化、节点和步长有内热源的二维稳态问题，在常物性条件下可由泊松方程描述：(5-2-1)区域内的所有点，包括内节点(i,j)都应满足以上的方程。把节点(i,j)处的二阶偏导数用对应的差商来近似，有(5-2-2)(5-2-3)把以上两式舍去截断误差并代入式(5-2-1)，就得到内节点的差分方程(5-2-4)5-2稳态导热的数值分析如果采用正方形的网格，即△x＝△y，且无内热源(qV＝0)，则式(5-2-4)简化为(5-2-5)注意到该差分方程的截断误差是O[(△x)2+(△y)2]。利用边界条件也可导得边界节点的差分方程。若边界节点(1,j)和(n,j)分别满足绝热边界条件

6、和第三类边界条件：(5-2-6)(5-2-7)把式(5-l-7)的朝前差分格式代入式(5-2-6)，可得边界节点(1，j)的差分方程(5-2-8)5-2稳态导热的数值分析注意到，该节点方程的截断误差为△x量级，与内节点差分方程的截断误差相比，其精度低于一个量级。为了使各节点方程的精度能够均衡，可以利用“虚节点”的概念对边界节点进行适当的处理。假设在边界节点(l,j)的外面还有个节点(0,j)，且。注意该处的边界还是维持绝热，而节点(1,j)可以按内节点处理，得到(5-2-9)很显然，该节点方程的截断误差是(△x)2量级的。对于第三类边界条件的节点(n,j)，出于同样的考虑，也可以假设

7、有一个虚节点(n+1,j)。这样，一方面边界节点(n,j)可以按内节点处理，得到(5-2-10)5-2稳态导热的数值分析另一方面该节点还应满足边界条件式(5-2-14)。采用截断误差为O[(△x)2]的中心差分格式的式(5-l-9)代入边界条件，得(5-2-11)联立式(5-2-10)、(5-2-11)消去虚节点的温度，整理得(5-2-12)其他边界节点，如两个边界相交处的节点，也可以按同样的思路加以处理。5-2稳态导热的数值分析建立节点方程的另一个方法是