专题10：直线与圆.doc

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1、1．已知函数f（x）=（a∈R），曲线y=f（x）在x=1处的切线与直线x+2y﹣1=0垂直．（1）求a的值，并求f（x）的单调区间；（2）若λ是整数，当x＞0时，总有f（x）﹣（3+λ）xlnx+，求λ的最大值．1.解：（1）函数f（x）的定义域是（0，+∞），f'（x）=（x+1）lnx+（2a+）x+1，依题意可得，f'（1）=1，2a++1=2，∴，f'（x）=（x+1）lnx+（x+1）=（x+1）（lnx+1），令f'（x）=0，即（x+1）（lnx+1）=0，∵x＞0，∴．x∈（，+∞）时，f′（x）

2、＞0，x∈（0，）时，f′（x）＜0．∴f（x）的递增区间是（，+∞），单调递减区间为（0，）．（2）由（Ⅰ）可知，f（x）=（+x）lnx+x2•⇔．设h（x）=，只需λ＜h（x）minh'（x）==（x＞0），令u（x）=x﹣2+lnx，∴u'（x）=1+＞0，可得u（x）在（0，+∞）上为单调递增函数，∵u（1）=﹣1＜0，u（2）=ln2＞0，∴存在x0∈（1，2），使u（x0）=0，当x∈（x0，+∞）时，u（x）＞0，即h'（x）＞0，当x∈（0，x0）时，u（x）＜0，即h'（x）＜0，∴h（x）在x

3、=x0时取最小值，且h（x）min=，又u（x0）=0，∴lnx0=2﹣x0，h（x）min==x0，∵λ＜h（x）min，λ∈Z，x0∈（1，2），∴﹣x0∈（﹣2，﹣1），λ的最大值为﹣2．2．已知函数f（x）=ax+xlnx（a∈R）2（1）若函数f（x）在区间[e，+∞）上为增函数，求a的取值范围；（2）当a=1且k∈Z时，不等式k（x﹣1）＜f（x）在x∈（1，+∞）上恒成立，求k的最大值．解：（1）∵函数f（x）在区间[e，+∞）上为增函数，∴f′（x）=a+lnx+1≥0在区间[e，+∞）上恒成立，∴

4、a≥（﹣lnx﹣1）max=﹣2．∴a≥﹣2．∴a的取值范围是[﹣2，+∞）．（2）a=1时，f（x）=x+lnx，k∈Z时，不等式k（x﹣1）＜f（x）在x∈（1，+∞）上恒成立，∴k＜，令g（x）=，则g′（x）=，令h（x）=x﹣lnx﹣2（x＞1）．则h′（x）=1﹣=＞0，∴h（x）在（1，+∞）上单增，∵h（3）=1﹣ln3＜0，h（4）=2﹣2ln2＞0，存在x0∈（3，4），使h（x0）=0．即当1＜x＜x0时h（x）＜0即g′（x）＜0x＞x0时h（x）＞0即g′（x）＞0g（x）在（1，x0）上

5、单减，在（x0+∞）上单增．令h（x0）=x0﹣lnx0﹣2=0，即lnx0=x0﹣2，g（x）min=g（x0）===x0∈（3，4）．k＜g（x）min=x0∈（3，4），且k∈Z，∴kmax=3．2