高等代数欧几里得空间知识点总结.docx

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1、第九章欧几里得空间（***）一、复习指导：在第九章中，有两个重要的考点：1.标准正交基（施密特正交化）2.实对称矩阵如何相似对角化，如何求标准形。除此之外，欧氏空间的含义，概念，性质也要作为一个比较重要的内容来复习。二、考点精讲：三、首师大真题：（一）欧氏空间1.设V是是数域R上一线性空间，在V上定义了一个二元实函数，称为内积，记为，特具有一下性质：（1）；（2）（3）；（4），当且仅当=0时=0.这里是V中任意的向量，k是任意实数，这样的线性空间V称为欧几里得空间。2.非负实数称为向量的长度，记为。3.非零向量的夹角规定为4.如果向量的内积为零，即，那么称为正交或互相垂直，记为。5

2、.设V是一个n维欧几里得空间，在V中取一组基令矩阵称为基的度量矩阵。（1）度量矩阵是正定的；（2）不同基底的度量矩阵是合同的。6.欧氏空间V中一组非零向量，如果它们两两正交，就称为一正交向量组。在n维欧氏空间中，由n个向量组成的正交向量组称为正交基；由单位向量组成的正交基称为标准正交基。（1）施密特正交化这是把线性无关向量组改造为单位正交向量组的方法.以3个线性无关向量a1,a2,a3为例.①令b1=a1,b2=a2-,b3=a3--.此时b1,b2,b3是和a1,a2,a3等价的正交非零向量组.（二）同构1.实数域R上欧氏空间V与称为同构，如果由V到有一个1-1上的映射，适合（1）

3、（2）（3）这里，这样的映射称为V到的同构映射。2.两个有限维欧氏空间同构的充分条件是它们的维数相同。（三）正交矩阵1.基本概念（1）n级实数矩阵A称为正交矩阵，如果。（2）欧氏空间V的线性变换A称为正交变换，如果它保持向量的内积不变，即对任意的都有2.主要结论设A是欧氏空间V的一个线性变换，于是下面4个命题等价：（1）A是正交变换；（2）A保持向量的长度不变，即对于，；（3）如果是标准正交基，那么也是标准正交基；（4）A在任一组标准正交基下的矩阵是正交矩阵。（四）正交子空间1.基本概念（1）设是欧氏空间V中两个子空间。如果对于任意的恒有=0，则称为正交的，记。一个向量，如果对于任意

4、的，恒有=0，则称与子空间正交，记为。（2）子空间称为子空间的一个正交补，如果，并且=V。2.主要结论（1）如果子空间两两正交，那么和是直和。（2）欧氏空间V的每一个子空间都有唯一的正交补。（3）恰由所有与正交的向量组成。（五）对称矩阵的性质1.实对称矩阵的性质（1）实对称矩阵的特征值皆为实数。（2）设A是n级实对称矩阵，则中属于A的不同特征值的特征向量必正交。（3）对于任意一个n级实对称矩阵A，都存在一个n级正交矩阵T，使成对角矩阵。2.对称矩阵（1）设A是欧氏空间V中的一个线性变换，如果对于任意的，有则称A为对称变换。（2）对称变换的性质①对称变换在标准正交基下的矩阵是实对称矩阵

5、。②设A是对称变换，是A-子空间，则也是A-子空间。③设A是n维欧氏空间V中的对称变换，则V中存在一组由A得特征向量构成的标准正交基。（3）实对称矩阵的对角化A是实对称矩阵,则它的对角化问题有特殊的结论.A的特征值和特征向量有以下特点:(1)特征值都是实数.(2)对每个特征值l,其重数=n-r(lE-A).(3)属于不同特征值的特征向量互相正交.于是,我们得出:实对称矩阵可对角化,并且可以用正交矩阵将其对角化.设A是实对称矩阵,构造正交矩阵Q(使得Q-1AQ是对角矩阵)的步骤:(1)求出A的特征值;(2)对每个特征l,求(lE-A)X=0的单位正交基础解系,合在一起得到A的n个单位正

6、交的特征向量;(3)用它们为列向量构造正交矩阵Q.（六）向量到子空间的距离，最小二乘法1.长度称为向量和的距离，记为，且（1）=（2），当且仅当时等号成立；（3）（三角不等式）2.实系数线性方程组可能无解，即任何一组实数都可能使不等于零，寻找实数组使上式最小，这样的称为方程组的最小二乘解。3.线性方程组AX=b的最小二乘解即为满足方程组的解