高等代数期末考试题A答案.doc

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1、高等代数课程A卷试题答案一、填空题（本题共10小题，每小题2分，满分20分.把正确答案填在题中横线上）1.8；2.0；3.0；4.；5.1或；6.；7.2；8.；9.6；10..二、选择题（本题共10小题，每小题2分，满分20分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号(答题框)内）题号12345678910答案AACACDCCBA三、计算题（本题共2小题，每小题10分，满分20分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）1.计算n阶行列式。解：观察行列式，每一行只有一个而有个，于是将第2列，第3列，……，第列分别乘以1加到第1列，得2.设，，求

2、。解：四、解答题（本题共2小题，第1小题15分、第2小题10分，满分25分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）1.求非齐次线性方程组的通解(用导出组的基础解系表示)：.解对增广矩阵施行行初等变换与原方程组同解的齐次线性方程组为令，得到非齐次方程组的一个解,对应的齐次方程组（即导出方程组）为（其中为自由未知量），令，，得到对应齐次方程组的一个基础解系，，方程组的通解为,其中为任意常数．2.求下列向量组的秩,并求一个最大无关组:α1=(1,2,-1,4)T,α2=(9,100,10,4)T,α3=(-2,-4,2,-8)T;解　由,知r(α1,α2,α3)=2.因为向量α1与α2

3、的分量不成比例,故α1,α2线性无关,所以α1,α2是一个极大无关组.五、解答题（本题满分10分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）求一个正交变换将二次型化成标准形.解二次型的矩阵为.由,得A的特征值为l1=2,l2=5,l3=1.当l1=2时,解方程组(2E-A)X=0,得特征向量α1=(1,0,0)T.当l2=5时,解方程组(5E-A)X=0,得特征向量(0,1,1)T.将其单位化得.当l3=1时,解方程组(E-A)X=0,得特征向量(0,-1,1)T.取将其单位化得.于是有正交矩阵Q=(α1,α2,α3)和正交变换X=QY,使.六、证明题（本题满分5分。解答应写出文字说

4、明、证明过程或演算步骤）设A是一个n阶正定矩阵，则正定。证明:设A的n个特征值为。因A正定，故A的所有特征值都大于0，所以的所有特征值都大于1，因此