证明不等式的基本方法PPT课件.ppt

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1、证明不等式的基本方法一、比较法(1)作差比较法下面给出证明(2)作商比较法补充练习:DAABQ>P>M二、综合法与分析法(1)综合法在不等式的证明中,我们经常从已知条件和不等式的性质、基本不等式等出发,通过逻辑推理,推导出所要证明的结论.这种从已知条件出发,利用定义、公理、定理、性质等,经过一系列的推理、论证而得出命题成立,这种证明方法叫做综合法.又叫顺推证法或由因导果法.用综合法证明不等式的逻辑关系例4：设a,b,cR+，1求证：2求证：1证明:证明:例5.已知a＞0，b＞0，c＞0，a，b，c不全相等，求证：证明：因为a＞0，b＞0，c＞0，所以又因为a，b，c不全相等，所

2、以上面三式不能全取等号，三式相加得例6已知x，y，z是互不相等的正数，且x+y+z=1，求证:证明：因为x、y、z是互不相等的正数，且x+y+z=1，所以①②又因为0＜x＜1,所以同理,将①②③三式相乘,得③(2)分析法从要证的结论出发,逐步寻求使它成立的充分条件,直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义、公理或已证的定理、性质等),从而得出要证的命题成立,这种证明方法叫做分析法.这是一种执果索因的思考和证明方法.用分析法证明不等式的逻辑关系用分析法证“若A则B”这个命题的模式是:为了证明命题B为真,只需证明命题B1为真,从而有……只需证明命题B2为真,从而有…………只需证明命

3、题A为真.而已知A为真,故B必真.例1：已知C＞1，求证：证明：∵C＞1∴C+1＞0C-1＞0即证-1＜0（成立）∵-1＜0∴例2：证明：不等式显然成立原不等式即证（成立）若ac+bd≤0,例3:要证明原不等式成立，只需证明：设x＞0,y＞0,求证：∵x＞0，y＞0∴　可证即证因成立，故原不等式成立。证明：证明例4证明：例5：三、反证法与放缩法(1)反证法先假设要证的命题不成立,以此为出发点,结合已知条件,应用公理,定义,定理,性质等,进行正确的推理,得到和命题的条件(或已证明的定理,性质,明显成立的事实等)矛盾的结论,以说明假设不正确,从而证明原命题成立,这种方法称为反证法.对于那些

4、直接证明比较困难的命题常常用反证法证明.1.已知a、b、c∈(0，1)，求证：(1-a)b，(1-b)c，(1-c)a不能同时大于.证法1：假设三式同时大于，即有(1-a)b＞，(1-b)c＞，(1-c)a＞,三式同向相乘，得(1-a)a(1-b)b(1-c)c＞.又(1-a)a≤()2=，同理，(1-b)b≤，(1-c)c≤，所以(1-a)a(1-b)b(1-c)c≤，因此与假设矛盾，故结论正确.证法2：假设三式同时大于.因为0＜a＜1，所以1-a＞0，点评：证明有关“至少”“最多”“唯一”或含有其他否定词的命题，可采用反证法.反证法的证题步骤是：反设——推理——导出矛盾(得出结论)

5、.所以同理，都大于.三式相加得＞，矛盾.故假设不成立，从而原命题成立.已知a,b,c∈R,求证：a2-2c,b2-2a,c2-2b三个式子中至少有一个不小于-1.证明：假设三式都同时小于-1，即a2-2c＜-1，b2-2a＜-1，c2-2b＜-1，三式相加，得a2-2c+b2-2a+c2-2b＜-3，所以a2-2c+b2-2a+c2-2b+3＜0，即有(a-1)2+(b-1)2+(c-1)2＜0，这与(a-1)2+(b-1)2+(c-1)2≥0，矛盾.故结论成立.反证法主要适用于以下两种情形(1)要证的结论与条件之间的联系不明显,直接由条件推出结论的线索不够清晰;(2)如果从正面证明,

6、需要分成多种情形进行分类讨论而从反面进行证明,只研究一种或很少的几种情形.(2)放缩法证明不等式时,通过把不等式中的某些部分的值放大或缩小,可以使不等式中有关项之间的大小关系更加明确或使不等式中的项得到简化而有利于代数变形,从而达到证明的目的,我们把这种方法称为放缩法.通常放大或缩小的方法是不唯一的,因而放缩法具有较在原灵活性;另外,用放缩法证明不等式,关键是放、缩适当,否则就不能达到目的,因此放缩法是技巧性较强的一种证法.例3.设n∈N*，求证：证明：综合(1)(2)知，原不等式成立.点评：对分式求和型的不等式，如果不能直接用裂项方式相消求和，则一般根据式子的特点进行适当放缩，放缩时

7、注意分母的放大与缩小对分式值大小及对式子求和变形的影响.若n∈N，且n≥2，求证：证明：当n≥2时,即所以又故原不等式成立.补充例题:四：函数法：五：用换元证不等式1.已知a、b∈R，a2+b2≤4，求证：

8、3a2-8ab-3b2

9、≤20.证明：因为a、b∈R，a2+b2≤4，所以可设a=rcosθ,b=rsinθ,其中0≤r≤2，所以

10、3a2-8ab-3b2

11、=r2

12、3cos2θ-4sin2θ

13、=r2

14、5cos(2θ+arctan)

15、≤5r2