证明不等式的基本方法ppt课件.ppt

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1、第二课证明不等式的基本方法【网络体系】【核心速填】1.比较法(1)作差比较法的依据:若a,b∈R,则______⇔a>b;a-b=0⇔a=b;______⇔a0,b>0,则_____⇔a>b;=1⇔a=b;_____⇔a0a-b<0(3)比较法的步骤:作差(商)→变形→判符号(与0(或1)比较大小)→结论.2.综合法推证过程:3.分析法推证过程:4.反证法反设→推理→矛盾→结论.5.放缩法分析待证式的形式特点,适当放大或缩小.【易错警示】(1)利用比较法证明不等式时,最后变形的结果要容易判断其符号,即变形为一个常数,或变形

2、为若干个因式的乘积,或变形为一个或几个平方的和等.(2)用分析法证明不等式时,一定要注意用好反推符号,或“要证明”“只需证明”“即证明”等词语.(3)用放缩法时,放缩要得当,不能“过大”也不能“过小”.类型一比较法证明不等式【典例1】设a≥b>0,求证:3a3+2b3≥3a2b+2ab2.【证明】3a3+2b3-(3a2b+2ab2)=3a2(a-b)+2b2(b-a)=(a-b)(3a2-2b2).因为a≥b>0,所以a-b≥0,3a2-2b2>2a2-2b2≥0.从而(3a2-2b2)(a-b)≥0,故3a3+2b3≥3a2b+2ab2成立.【方法技巧】比较法证明不等

3、式的依据及步骤(1)依据:不等式的意义及实数比较大小的充要条件.(2)一般步骤:①作差;②恒等变形;③判断结果的符号;④下结论.其中,变形是证明推理中一个承上启下的关键,变形的目的在于判断差的符号,而不是考虑差能否化简或值是多少,变形所用的方法要具体情况具体分析,可以配方,可以因式分解,可以运用一切有效的恒等变形.【变式训练】1.(2016·南阳高二检测)已知a,b是正实数,n是正整数.求证:(a+b)(an+bn)≤2(an+1+bn+1).【证明】(a+b)(an+bn)-2(an+1+bn+1)=an+1+abn+anb+bn+1-2an+1-2bn+1=abn+a

4、nb-an+1-bn+1=a(bn-an)+b(an-bn)=(a-b)(bn-an).当a>b>0时,bn-an<0,a-b>0,此时(a-b)(bn-an)<0;当b>a>0时,bn-an>0,a-b<0,此时(a-b)(bn-an)<0;当a=b>0时,bn-an=0,a-b=0,此时(a-b)(bn-an)=0.综上所述:(a+b)(an+bn)-2(an+1+bn+1)≤0.即(a+b)(an+bn)≤2(an+1+bn+1).2.(2016·福州高二检测)已知α∈(0,π),求证:2sin2α≤【证明】2sin2α-=4sinαcosα-因为α∈(0,π),所

5、以sinα>0,1-cosα>0,又(2cosα-1)2≥0,所以2sin2α-≤0,所以2sin2α≤.类型二综合法证明不等式【典例2】已知a>0,a2-2ab+c2=0且bc>a2,试证明:b>c.【证明】因为a2-2ab+c2=0,所以a2+c2=2ab.又a2+c2≥2ac,且a>0,所以2ab≥2ac,所以b≥c.若b=c,由a2-2ab+c2=0,得a2-2ab+b2=0,所以a=b.从而a=b=c,这与bc>a2矛盾.从而b>c.【方法技巧】综合法证明不等式的依据、注意点及思考方向(1)依据:已知的不等式以及逻辑推证的基本理论.(2)注意点:作为依据和出发点

6、的几个重要不等式(已知或已证)成立的条件往往不同,应用时要先考虑是否具备应有的条件,避免错误,如一些带等号的不等式,应用时要清楚取等号的条件,即对重要不等式中“当且仅当……时,取等号”的理由要理解掌握.(3)思考方向:综合法证明不等式的思考方向是“顺推”,即由已知的不等式出发,逐步推出其必要条件(由因导果),最后推导出所要证明的不等式成立.【变式训练】1.(2016·昆明高二检测)已知a,b是不相等的正实数,求证:(a2b+a+b2)(ab2+a2+b)>9a2b2.【解题指南】因为a,b是不相等的正实数,所以a2b+a+b2及ab2+a2+b均可用三正数的均值不等式,从

7、而用综合法可证明.【证明】因为a,b是正实数,所以a2b+a+b2≥3=3ab>0,(当且仅当a2b=a=b2即a=b=1时,等号成立);同理:ab2+a2+b≥3=3ab>0,(当且仅当ab2=a2=b即a=b=1时,等号成立);所以(a2b+a+b2)(ab2+a2+b)≥9a2b2,(当且仅当a=b=1时,等号成立);因为a≠b,所以(a2b+a+b2)(ab2+a2+b)>9a2b2.2.若a,b,c都是正数,能确定与的大小吗?【解析】能确定,因为a,b,c都是正数,+(b+c)≥4a,+(a+c)≥4b,+(a+b)