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1、第九章定积分4定积分的性质一、定积分的基本性质性质1：若f在[a,b]上可积，k为常数，则kf在[a,b]上也可积，且dx=kdx.证：当k=0时结论成立.当k≠0时，∵f在[a,b]上可积，记J=dx，∴任给ε>0，存在δ>0，当║T║<δ时，
2、-J
3、<；又
4、-kJ
5、=
6、k
7、·
8、-J
9、<
10、k
11、·=ε，∴kf在[a,b]上可积，且dx=kdx.性质2：若f,g都在[a,b]上可积，则f±g在[a,b]上也可积，且dx=dx±dx.证：∵f,g都在[a,b]上可积，记J1=dx，J2=dx.∴任给ε>0，存在δ>0，当║T║<δ时，有
12、-J1
13、<，
14、-J2
15、<.又
16、-(J1+J2)
17、=
18、(-
19、J1)+(-J2)
20、≤
21、-J1
22、+
23、-J2)
24、<+=ε；
25、-(J1-J2)
26、=
27、(-J1)+(J2-)
28、≤
29、-J1
30、+
31、-J2)
32、<+=ε.∴f±g在[a,b]上也可积，且dx=dx±dx.注：综合性质1与性质2得：dx=αdx±βdx.性质3：若f,g都在[a,b]上可积，则f·g在[a,b]上也可积.证：由f,g都在[a,b]上可积，从而都有界，设A=
33、f(x)
34、，B=
35、g(x)
36、，当AB=0时，结论成立；当A>0,B>0时，任给ε>0，则存在分割T’,T”，使得<，<.令T=T’+T”，则对[a,b]上T所属的每一个△i，有ωif·g=
37、f(x’)g(x’)-f(x”)g(x”)
38、≤
39、[
40、g(x’)
41、·
42、f(x’)-f(x”)
43、+
44、f(x”)
45、·
46、g(x’)-g(x”)
47、]≤Bωif+Aωig.又≤B+A≤B+A0，分别存在对[a,c]与[c,b]的分割T’,T”，使得<，<.令[a,b]上的分割T=T’+T”，则有=+<+=ε，∴f在[a,b]上可积.[必要性]∵f在[a,b]上可积，∴任给ε>0，存
48、在[a,b]上的某分割T，使<ε.在T上增加分点c，得分割T⁰，有≤<ε.分割T⁰在[a,c]和[c,b]上的部分，分别构成它们的分割T’和T”，则有≤<ε，≤<ε，∴f在[a,c]与[c,b]上都可积.又有=+，当║T⁰║→0时，同时有║T’║→0，║T”║→0，对上式取极限，得dx=dx+dx.(关于积分区间的可加性)规定1：当a=b时，dx=0；规定2：当a>b时，dx=-dx；以上规定，使公式dx=dx+dx对于a,b,c的任何大小顺都能成立.性质5：设f在[a,b]上可积.若f(x)≥0,x∈[a,b]，则dx≥0.证：∵在[a,b]上f(x)≥0，∴f的任一积分和都为非负.又f
49、在[a,b]上可积，∴dx=≥0.推论：(积分不等式性)若f,g在[a,b]上都可积，且f(x)≤g(x),x∈[a,b]，则有dx≤dx.证：记F(x)=g(x)-f(x)≥0,x∈[a,b]，∵f,g在[a,b]上都可积，∴F在[a,b]上也可积.∴dx=dx-dx≥0，即dx≤dx.性质5：若f在[a,b]上可积，则
50、f
51、在[a,b]上也可积，且
52、dx
53、≤dx.证：∵f在[a,b]上可积，∴任给ε>0，存在分割T，使<ε，由不等式
54、
55、f(x1)
56、-
57、f(x2)
58、
59、≤
60、f(x1)-f(x2)
61、可得≤，∴≤<ε，∴
62、f
63、在[a,b]上可积.又-
64、f(x)
65、≤f(x)≤
66、f(x)
67、，∴
68、d
69、x
70、≤dx.例1：求dx，其中f(x)=解：dx=dx+dx=(x2-x)+(-e-x)=-2-e-1+1=-e-1-1.例2：证明：若f在[a,b]上连续，且f(x)≥0，dx=0，则f(x)≡0,x∈[a,b].证：若有x0∈[a,b],使f(x0)>0，则由连续函数的局部保号性，存在的x0某邻域U(x0,δ)（当x0=a或x0=b时，则为右邻域或左邻域），使f(x)≥f(x0)>0，从而有dx=dx+dx+dx≥0+dx+0=δf(x0)>0，与dx=0矛盾，∴f(x)≡0,x∈[a,b].二、积分中值定理定理9.7：(积分第一中值定理)若f在[a,b]上连续，则至少存在一点ξ∈[a
71、,b]，使得dx=f(ξ)(b-a).证：∵f在[a,b]上连续，∴存在最大值M和最小值m，由m≤f(x)≤M,x∈[a,b]，得m(b-a)≤dx≤M(b-a)，即m≤dx≤M.又由连续函数的介值性知，至少存在一点ξ∈[a,b]，使得f(ξ)=dx，即dx=f(ξ)(b-a).积分第一中值定理的几何意义：(如图)若f在[a,b]上非负连续，则y=f(x)在[a,b]上的曲边梯形面积等于以f(ξ)为高，[a,b]为底的矩
